РепкаЗадание 2 ЕГЭ по профильной математике: векторы с нуля до ответа
Что за задание
Задание 2 профильного ЕГЭ про векторы на координатной плоскости. За него дают 1 первичный балл, ответ записывают числом. В демоверсии ЕГЭ 2027 года показаны три варианта этого задания: найти скалярное произведение по рисунку, найти длину вектора вида 7\vec{a} - \vec{b} по координатам и найти скалярное произведение по координатам. В открытом банке ФИПИ по этой теме 31 задача (проверено на сайте ФИПИ 30 октября 2026 года), и все они такие же: 13 задач на длину вектора и 18 на скалярное произведение. Косинуса угла, коллинеарных и перпендикулярных векторов в банке ФИПИ нет.
Даны векторы \vec{a}(2; 3) и \vec{b}(1; 3). Найдите длину вектора 3\vec{a} - 2\vec{b}.
Или по рисунку: на координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Если пока непонятно, что такое \vec{a}(2; 3) и как считать, это нормально: ниже всё объясняется по порядку. Обе задачи разобраны по шагам: первая в разделе про длину вектора 3a − 2b, вторая в разделе про скалярное произведение.
Не читайте всё подряд. Прочитайте только блоки с зелёной меткой «Минимум к ЕГЭ»: что такое координаты вектора, длина, сумма и умножение на число, скалярное произведение. Потом решите задачи открытого банка ФИПИ в практике. Этого хватает для задания 2 в том виде, в каком оно дано в демоверсии и банке ФИПИ. Синие и фиолетовые блоки оставьте на потом.
Минимум к ЕГЭ Без этого задание не решить. Это всё, что есть в демоверсии и в открытом банке ФИПИ.
Уверенный уровень Задачи как в сборнике Ященко и тренировочных работах СтатГрад: косинус угла, неизвестная координата, коллинеарные векторы. Их решают в школах и дают на пробниках, в одном из вариантов экзамена такое может попасться.
Чуть глубже Откуда берутся формулы. На экзамене не понадобится, но с этим формулы не надо зубрить. Такие блоки свёрнуты, открывайте по желанию.
Вектор: путь из одной точки в другую
Минимум к ЕГЭ
Вектор рисуют стрелкой. У стрелки есть начало и конец, и она показывает перемещение: откуда вышли и куда пришли.
Координаты вектора показывают, сколько прошли. Вектор (3; 2) значит 3 клетки вправо и 2 клетки вверх.
Первое число говорит о шагах по x, второе о шагах по y. Никакой магии в этих числах нет: это просто пройденный путь.
Знак показывает направление. По x плюс значит вправо, минус влево. По y плюс значит вверх, минус вниз. Вектор (3; -2): три клетки вправо и две вниз. Вектор (-4; 0): четыре клетки влево, вверх и вниз не двигаемся.
Потяните конец стрелки и посмотрите, как меняются шаги и координаты. Потом потяните за начало.
Когда тянете за начало, стрелка переезжает целиком, а координаты остаются теми же. Вектору важно только, куда и на сколько сдвинулись. Откуда начали, значения не имеет.
Вектор обозначают буквой со стрелкой: \vec{a}. Координаты пишут в скобках через точку с запятой: \vec{a}(3; 2) или \vec{a} = (3; 2). Если вектор идёт из точки A в точку B, его записывают как \overrightarrow{AB}.
Координаты по рисунку
Минимум к ЕГЭ
В задачах с рисунком координаты не даны, их считают по клеткам. Идём от начала стрелки к концу: сколько клеток вправо или влево, такая первая координата; сколько вверх или вниз, такая вторая.
Координаты вектора = конец минус начало. Или просто посчитайте клетки от начала стрелки до её конца.
Найдите координаты вектора \vec{a} на рисунке.
- Начало стрелки в точке (1; 4), конец в точке (5; 1).
- Идём от начала к концу: 4 клетки вправо, это +4, и 3 клетки вниз, это -3.
- Проверим формулой, конец минус начало: (5 - 1; 1 - 4) = (4; -3).
Ответ: \vec{a}(4; -3).
Частая ошибка: вычесть наоборот, начало минус конец. Тогда все знаки перевернутся, и стрелка будет смотреть в обратную сторону. Если сомневаетесь, посчитайте шаги по клеткам.
Длина вектора: это теорема Пифагора
Минимум к ЕГЭ
Посмотрите ещё раз на стрелку и её шаги. Шаг по x и шаг по y идут под прямым углом, а сама стрелка соединяет их концы. Получается прямоугольный треугольник: шаги служат катетами, а стрелка гипотенузой.
Здесь катеты равны 3 и 4. По теореме Пифагора гипотенуза равна \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5. Это и есть длина вектора.
\vec{b}(-6; 8): минус при возведении в квадрат пропадает, (-6)^2 = 36. Поэтому |\vec{b}| = \sqrt{36 + 64} = 10.
Длина всегда положительная: это расстояние от начала стрелки до конца. У векторов (3; -4) и (-3; 4) длина одна и та же, 5.
В ЕГЭ ответ почти всегда целый, потому что составители берут тройки Пифагора. Если узнаёте пару катетов, корень извлекать не придётся.
| Катеты | 3 и 4 | 6 и 8 | 5 и 12 | 8 и 15 | 7 и 24 | 20 и 21 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Длина | 5 | 10 | 13 | 17 | 25 | 29 |
Попробуйте сами. Найдите длину вектора \vec{a}(5; -12).
Решение
|\vec{a}| = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.
Умножение вектора на число
Минимум к ЕГЭ
Что значит 2\vec{a}? Это \vec{a} + \vec{a}, то есть пройти путь \vec{a} два раза подряд. Пусть \vec{a}(3; 1). Сложим его с самим собой в столбик:
| x | y | |
|---|---|---|
| \vec{a} | 3 | 1 |
| +\;\vec{a} | 3 | 1 |
| 2\vec{a} | 6 | 2 |
По x получилось 3 + 3 = 2 \cdot 3, по y получилось 1 + 1 = 2 \cdot 1. Отсюда правило: при умножении на число умножается каждая координата. Точно так же 3\vec{a} = \vec{a} + \vec{a} + \vec{a} = (9; 3), и с любым другим числом.
k\vec{a}: каждую координату умножить на k. Например, 2 \cdot (3; 1) = (6; 2).
Умножить на -1 значит пройти тот же путь в обратную сторону. Все знаки меняются: -(3; 1) = (-3; -1). Длина остаётся прежней, меняется направление.
Умножить на 0{,}5 значит пройти половину пути. При умножении на число k длина умножается на |k|, а если k отрицательное, стрелка разворачивается.
На интерактиве пунктиром показаны копии пути \vec{a}, уложенные друг за другом, и шаги каждой копии. Поставьте k = 2, потом k = 3.
Сложение и вычитание векторов
Минимум к ЕГЭ
\vec{a} + \vec{b} значит пройти сначала путь \vec{a}, а потом из того места, где оказались, путь \vec{b}. Прошли 2 клетки вправо, потом ещё 5 вправо: всего 7.
Векторы складывают и вычитают в столбик: иксы с иксами, игреки с игреками.
| x | y | |
|---|---|---|
| \vec{a} | 2 | 1 |
| +\;\vec{b} | 5 | 3 |
| \vec{a} + \vec{b} | 7 | 4 |
| x | y | |
|---|---|---|
| \vec{a} | 5 | 2 |
| -\;\vec{b} | 1 | −3 |
| \vec{a} - \vec{b} | 4 | 5 |
Слева сложение: 2 + 5 = 7, 1 + 3 = 4. Справа вычитание, там всё то же самое, только со знаком минус: 5 - 1 = 4, 2 - (-3) = 5. Следите за знаками: минус минуса даёт плюс.
На картинке сложение выглядит так: конец первого вектора совпадает с началом второго, а сумма идёт из начала первого в конец второго. Это правило треугольника. Если оба вектора выходят из одной точки, достраивают параллелограмм, и сумма идёт по его диагонали. Вычесть \vec{b} то же самое, что прибавить -\vec{b}, то есть пройти путь \vec{b} в обратную сторону.
Длина вектора вида 3a − 2b: главный тип задания 2
Минимум к ЕГЭ
Это самая частая задача. На экзамене её решают вычислениями в столбик, рисовать ничего не нужно. Три действия по порядку:
1) умножить векторы на числа, каждую координату;
2) сложить или вычесть в столбик;
3) найти длину того, что получилось, по теореме Пифагора.
Даны векторы \vec{a}(2; 3) и \vec{b}(1; 3). Найдите длину вектора 3\vec{a} - 2\vec{b}.
Действие 1. Умножаем каждую координату: \vec{a} на 3, \vec{b} на 2.
| x | y | |
|---|---|---|
| \vec{a} | 2 | 3 |
| \cdot 3 | ·3 | ·3 |
| 3\vec{a} | 6 | 9 |
| x | y | |
|---|---|---|
| \vec{b} | 1 | 3 |
| \cdot 2 | ·2 | ·2 |
| 2\vec{b} | 2 | 6 |
Действие 2. Вычитаем в столбик:
| x | y | |
|---|---|---|
| 3\vec{a} | 6 | 9 |
| -\;2\vec{b} | 2 | 6 |
| 3\vec{a} - 2\vec{b} | 4 | 3 |
Действие 3. Длина по Пифагору: \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5.
Ответ: 5.
Картинка ниже только для понимания, на экзамене её рисовать не нужно. Листайте шаги и смотрите, как из 3\vec{a} и -2\vec{b} получается новый вектор.
Даны векторы \vec{a}(2; 3) и \vec{b}(1; 3). Найдите длину вектора 3\vec{a} - 2\vec{b}.
- Векторы \vec{a} и \vec{b} из начала координат.
- 3\vec{a} = (6; 9): путь \vec{a} три раза подряд.
- Из конца 3\vec{a} идём по -2\vec{b} = (-2; -6): путь \vec{b} два раза в обратную сторону.
- Пришли в точку (4; 3): это и есть вектор 3\vec{a} - 2\vec{b}. Его шаги 4 и 3 дают прямоугольный треугольник, длина 5.
Ответ: 5.
Считать |\vec{a} - \vec{b}| как |\vec{a}| - |\vec{b}|. Так нельзя. Возьмите \vec{a}(3; 4) и \vec{b}(3; -4): длины у них одинаковые, разность длин равна 0. А вектор \vec{a} - \vec{b} = (0; 8) имеет длину 8. Сначала находим сам вектор, потом его длину.
Если векторы даны рисунком, добавляется одно действие в начале: прочитать координаты по клеткам. Дальше всё так же, в столбик.
На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора \vec{a} - \vec{b}.
- Вектор \vec{a}: 5 клеток вправо и 1 вверх, \vec{a} = (5; 1).
- Вектор \vec{b}: 2 клетки вправо и 5 вверх, \vec{b} = (2; 5).
- Вычитаем: \vec{a} - \vec{b} = (5 - 2; 1 - 5) = (3; -4).
- Длина: \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5.
Ответ: 5.
Даны векторы \vec{a}(2; 0) и \vec{b}(1; 4). Найдите длину вектора \vec{a} + 3\vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты вектора \vec{a} + 3\vec{b}: \vec{a} + 3\vec{b} = \{2 + 3 \cdot 1; 0 + 3 \cdot 4\} = \{5; 12\}.
Значит, его длина равна \left|\vec{a} + 3\vec{b}\right| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{13^2} = 13.
Даны векторы \vec{a}(1; 1) и \vec{b}(0; 7). Найдите длину вектора 8\vec{a} + \vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты вектора 8\vec{a} + \vec{b}: 8\vec{a} + \vec{b} = \{8 \cdot 1 + 0; 8 \cdot 1 + 7\} = \{8; 15\}.
Значит, его длина равна \left|8\vec{a} + \vec{b}\right| = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{17^2} = 17.
На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора \vec{a} + 3\vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты векторов \vec{a} и \vec{b}: \begin{aligned} & \vec{a} = \{3 - 1; 4 - 1\} = \{2; 3\}; \\ & \vec{b} = \{5 - 3; 2 - 3\} = \{2; -1\}. \end{aligned}
Тогда \vec{a} + 3\vec{b} = \{2 + 3 \cdot 2; 3 + 3 \cdot (-1)\} = \{8; 0\}.
Следовательно, \left|\vec{a} + 3\vec{b}\right| = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8.
Скалярное произведение
Минимум к ЕГЭ
Скалярное произведение двух векторов даёт число. Вы уже складывали векторы в столбик и умножали их на число. Скалярное произведение тоже считают в столбик, только столбики перемножают.
Перемножить первый столбик, перемножить второй столбик, результаты сложить.
Возьмём векторы из задачи с рисунком в начале статьи: \vec{a}(3; 4) и \vec{b}(4; 3).
| x | y | |
|---|---|---|
| \vec{a} | 3 | 4 |
| \vec{b} | 4 | 3 |
| перемножили | 3·4 = 12 | 4·3 = 12 |
Складываем: 12 + 12 = 24. Значит, \vec{a} \cdot \vec{b} = 24.
Ещё пример, с минусом: \vec{a}(3; 5) и \vec{b}(2; -4).
| x | y | |
|---|---|---|
| \vec{a} | 3 | 5 |
| \vec{b} | 2 | −4 |
| перемножили | 3·2 = 6 | 5·(−4) = −20 |
Складываем: 6 + (-20) = -14. Значит, \vec{a} \cdot \vec{b} = -14.
Есть вторая формула, через длины векторов и угол между ними. Обе формулы дают одно и то же число. Первой пользуются, когда известны координаты, второй, когда даны длины и угол.
Подвигайте векторы и сравните: по координатам и через длины и угол выходит одно и то же.
По знаку скалярного произведения видно, какой угол между векторами. Больше нуля: угол острый. Равно нулю: угол прямой, векторы перпендикулярны. Меньше нуля: угол тупой. Так получается, потому что косинус острого угла положительный, прямого равен нулю, тупого отрицательный.
Длины векторов \vec{a} и \vec{b} равны 4 и 6, угол между ними 60^\circ. Тогда \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 24 \cdot 0{,}5 = 12.
Значения косинуса, которые встречаются в задаче:
| Угол | 0^\circ | 30^\circ | 45^\circ | 60^\circ | 90^\circ | 120^\circ | 135^\circ | 150^\circ | 180^\circ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Косинус | 1 | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{1}{2} | 0 | -\frac{1}{2} | -\frac{\sqrt{2}}{2} | -\frac{\sqrt{3}}{2} | −1 |
Скалярное произведение по рисунку и для выражений
Минимум к ЕГЭ
Порядок тот же, что с длиной: сначала координаты (по клеткам или действиями в столбик), потом столбик для скалярного произведения.
На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
- Вектор \vec{a}: 3 клетки вправо, 4 вверх, \vec{a} = (3; 4).
- Вектор \vec{b}: 4 клетки вправо, 3 вверх, \vec{b} = (4; 3).
- Иксы на иксы, игреки на игреки: 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 12 + 12 = 24.
Ответ: 24.
Даны векторы \vec{a}(1; 2) и \vec{b}(3; -1). Найдите скалярное произведение векторов \vec{a} + \vec{b} и 2\vec{a} - \vec{b}.
Действие 1. Координаты обоих векторов в столбик:
| x | y | |
|---|---|---|
| \vec{a} | 1 | 2 |
| +\;\vec{b} | 3 | −1 |
| \vec{a} + \vec{b} | 4 | 1 |
| x | y | |
|---|---|---|
| 2\vec{a} | 2 | 4 |
| -\;\vec{b} | 3 | −1 |
| 2\vec{a} - \vec{b} | −1 | 5 |
Действие 2. Скалярное произведение, тоже в столбик:
| x | y | |
|---|---|---|
| \vec{a} + \vec{b} | 4 | 1 |
| 2\vec{a} - \vec{b} | −1 | 5 |
| перемножили | 4·(−1) = −4 | 1·5 = 5 |
Складываем: -4 + 5 = 1. Ответ: 1.
Даны векторы \vec{a}(-13; 4) и \vec{b}(-6; 1). Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Разбор решения
Скалярное произведение векторов \vec{a}\skob{x_1; y_1} и \vec{b}\skob{x_2; y_2} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2.
Следовательно, \vec{a} \cdot \vec{b} = -13 \cdot (-6) + 4 \cdot 1 = 78 + 4 = 82.
Даны векторы \vec{a}(-3; 5) и \vec{b}(1; 13). Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Разбор решения
Скалярное произведение векторов \vec{a}\skob{x_1; y_1} и \vec{b}\skob{x_2; y_2} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2.
Следовательно, \vec{a} \cdot \vec{b} = -3 \cdot 1 + 5 \cdot 13 = -3 + 65 = 62.
На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты векторов \vec{a} и \vec{b}: \begin{aligned} & \vec{a} = \{9 - 1; 7 - 2\} = \{8; 5\}; \\ & \vec{b} = \{8 - 1; 4 - 1\} = \{7; 3\}. \end{aligned}
Скалярное произведение векторов \vec{a}\skob{x_1; y_1} и \vec{b}\skob{x_2; y_2} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2.
Следовательно, скалярное произведение векторов \vec{a} и \vec{b} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = 8 \cdot 7 + 5 \cdot 3 = 56 + 15 = 71.
Длины векторов \vec{a} и \vec{b} равны 3 и 5, а угол между ними равен \ang{60}. Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Разбор решения
Мы знаем, что \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \phi, где \phi — угол между векторами \vec{a} и \vec{b}.
Тогда \begin{gathered} \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \phi = \\[1ex] = 3 \cdot 5 \cdot \cos \ang{60} = \dfrac{15}{2} = 7,5. \end{gathered}
Косинус угла между векторами
Уверенный уровень
В банке ФИПИ такой задачи нет, но в сборнике Ященко и в работах СтатГрад она встречается часто. Решается тремя блоками, и все они уже знакомы:
- найти координаты векторов (если дан рисунок);
- посчитать скалярное произведение по координатам и длины векторов;
- приравнять две формулы скалярного произведения и выразить косинус.
На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите косинус угла между ними.
- Координаты по клеткам: \vec{a} = (4; 3), \vec{b} = (0; 5).
- Скалярное произведение: 4 \cdot 0 + 3 \cdot 5 = 15.
- Длины: |\vec{a}| = \sqrt{16 + 9} = 5, |\vec{b}| = 5.
- Делим: \cos \alpha = \frac{15}{5 \cdot 5} = 0{,}6.
Ответ: 0,6.
Косинус угла = скалярное произведение, делённое на произведение длин.
Если косинус вышел отрицательным, это нормально: угол тупой. Модуль косинуса не может быть больше 1. Если получилось, например, 1,4, где-то ошибка в длинах.
Перпендикулярные векторы и неизвестная координата
Уверенный уровень
Векторы перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно нулю: косинус прямого угла равен 0. На этом построены задачи, где одна координата неизвестна.
Даны векторы \vec{a}(2; -3) и \vec{b}(6; b_0). Найдите b_0, если \vec{a} \cdot \vec{b} = 0.
Записываем скалярное произведение: 2 \cdot 6 + (-3) \cdot b_0 = 12 - 3b_0. Приравниваем к нулю: 12 - 3b_0 = 0, b_0 = 4.
Бывает и условие на длины, например |\vec{b}| = 1{,}5|\vec{a}|. Тогда удобно возвести обе части в квадрат, корни исчезнут: |\vec{b}|^2 = 2{,}25 \cdot |\vec{a}|^2. Получится уравнение вида b_0^2 = 36, у него два корня, и в ответ записывают тот, о котором спрашивают: меньший или больший.
Коллинеарные векторы: сонаправленные и противоположно направленные
Уверенный уровень
Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Тогда один получается из другого умножением на число: \vec{c} = k\vec{b}. Если k \gt 0, векторы смотрят в одну сторону, их называют сонаправленными. Если k \lt 0, они смотрят в разные стороны, это противоположно направленные векторы.
На рисунке \vec{b}(2; 1), \vec{c}(6; 3) и \vec{d}(-4; -2). Посмотрите на их ступеньки: у всех трёх по горизонтали вдвое больше, чем по вертикали. Прямоугольные треугольники из шагов подобны, поэтому координаты коллинеарных векторов пропорциональны: \vec{c} = 3\vec{b}, векторы сонаправлены; \vec{d} = -2\vec{b}, направлены противоположно.
Проверка на коллинеарность: разделите координаты одного вектора на соответствующие координаты другого. Для (2; -1) и (-6; 3): -6 : 2 = -3 и 3 : (-1) = -3. Числа одинаковые, значит, векторы коллинеарны, а минус говорит, что они направлены противоположно.
Даны векторы \vec{a}(3; -6) и \vec{b}(1; 2). Вектор \vec{c} сонаправлен с \vec{b}, а его длина равна длине \vec{a}. Найдите координаты \vec{c}.
Ищем \vec{c} в виде k\vec{b} с k \gt 0. Длины: |\vec{a}| = \sqrt{9 + 36} = 3\sqrt{5}, |\vec{b}| = \sqrt{5}. Длина k\vec{b} в k раз больше длины \vec{b}, поэтому k = 3.
\vec{c} = 3\vec{b} = (3; 6).
Ошибка, которую часто делают: просто поменять знаки у координат \vec{a}. Направление вектора \vec{c} задаёт \vec{b}, а от \vec{a} берём только длину.
Чуть глубже: откуда берутся формулы
Чуть глубже
Этот раздел для тех, кому интересно, откуда берутся формулы. На экзамене он не нужен. Если до ЕГЭ мало времени, пропустите его.
Скалярное произведение как тень одного вектора на другой
Поставьте векторы в одну точку и опустите перпендикуляр из конца \vec{b} на прямую, где лежит \vec{a}. Отрезок от начала до основания перпендикуляра называют проекцией \vec{b} на \vec{a}, проще говоря, тенью. Скалярное произведение равно длине \vec{a}, умноженной на эту тень.
Если тень смотрит туда же, куда \vec{a}, произведение положительное. Если в обратную сторону, отрицательное. Если перпендикуляр попадает ровно в начало, тени нет, и произведение равно нулю: векторы перпендикулярны. А длина тени равна |\vec{b}| \cdot \cos \alpha из прямоугольного треугольника, отсюда и вторая формула.
Откуда формула x₁x₂ + y₁y₂: вывод из теоремы косинусов
Поставьте векторы \vec{a} и \vec{b} в одну точку и соедините их концы. Получится треугольник, третья сторона которого равна вектору \vec{a} - \vec{b}. Запишем для него теорему косинусов:
|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - \; 2|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alphaЛевую часть распишем через координаты, \vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2):
(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 2(x_1 x_2 + y_1 y_2)А |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2. Квадраты в обеих частях одинаковые, они сокращаются, и остаётся:
|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha = x_1 x_2 + y_1 y_2Слева вторая формула скалярного произведения, справа первая. Значит, они действительно дают одно и то же число. Проверьте на интерактиве:
Косинус угла через теорему косинусов: работает, но на экзамене дольше
Возьмём ту же задачу, что в разделе о косинусе: \vec{a} = (4; 3) и \vec{b} = (0; 5) из точки (1; 1). Соединим концы векторов, точки (5; 4) и (1; 6).
Стороны треугольника по Пифагору: |\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 5, третья сторона \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}.
Теорема косинусов: 20 = 25 + 25 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos \alpha, откуда 50 \cos \alpha = 30 и \cos \alpha = 0{,}6. Ответ тот же, что по формуле.
На уроках мы иногда решаем так, чтобы убедиться, что формула взялась не с потолка. На экзамене считайте по формуле: шагов меньше, и ошибиться труднее.
Как всё связано: карта темы
Практика: все виды задачи 2 с решениями
Здесь только задачи. Решайте, вписывайте ответ и нажимайте «Проверить». Если не получается, откройте решение под задачей: оно идёт теми же шагами, что в разборах выше.
1. Задачи открытого банка ФИПИ
Минимум к ЕГЭ
Все виды, которые есть в банке ФИПИ. Если до экзамена мало времени, решите эти и остановитесь.
Длина вектора по координатам. Сначала координаты нового вектора, потом Пифагор.
Даны векторы \vec{a}(31; 0) и \vec{b}(1; -1). Найдите длину вектора \vec{a} - 24\vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты вектора \vec{a} - 24\vec{b}: \vec{a} - 24\vec{b} = \{31 - 24 \cdot 1; 0 - 24 \cdot (-1)\} = \{7; 24\}.
Значит, его длина равна \left|\vec{a} - 24\vec{b}\right| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{25^2} = 25.
Даны векторы \vec{a}(25; 0) и \vec{b}(1; -5). Найдите длину вектора \vec{a} - 4\vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты вектора \vec{a} - 4\vec{b}: \vec{a} - 4\vec{b} = \{25 - 4 \cdot 1; 0 - 4 \cdot (-5)\} = \{21; 20\}.
Значит, его длина равна \left|\vec{a} - 4\vec{b}\right| = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{29^2} = 29.
Длина вектора по рисунку. Сначала координаты по клеткам.
На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора \vec{a} + 4\vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты векторов \vec{a} и \vec{b}: \begin{aligned} & \vec{a} = \{4 - 1; 5 - 1\} = \{3; 4\}; \\ & \vec{b} = \{5 - 3; 2 - 3\} = \{2; -1\}. \end{aligned}
Тогда \vec{a} + 4\vec{b} = \{3 + 4 \cdot 2; 4 + 4 \cdot (-1)\} = \{11; 0\}.
Следовательно, \left|\vec{a} + 4\vec{b}\right| = \sqrt{11^2 + 0^2} = 11.
Скалярное произведение по координатам.
Даны векторы \vec{a}(6;4) и \vec{b}(5;-7). Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Разбор решения
Скалярное произведение векторов \vec{a}\skob{x_1; y_1} и \vec{b}\skob{x_2; y_2} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2.
Следовательно, \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 5 + 4 \cdot (-7) = 30 - 28 = 2.
Даны векторы \vec{a}(5;4) и \vec{b}(8;-9). Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Разбор решения
Скалярное произведение векторов \vec{a}\skob{x_1; y_1} и \vec{b}\skob{x_2; y_2} равно: \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2.
Следовательно, \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 8 + 4 \cdot (-9) = 40 - 36 = 4.
Даны векторы \vec{a}(6;4) и \vec{b}(6;-8). Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Разбор решения
Скалярное произведение векторов \vec{a}\skob{x_1; y_1} и \vec{b}\skob{x_2; y_2} равно: \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2.
Следовательно, \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 6 + 4 \cdot (-8) = 36 - 32 = 4.
Скалярное произведение по рисунку.
На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты векторов \vec{a} и \vec{b}: \begin{aligned} & \vec{a} = \{8 - 1; 5 - 2\} = \{7; 3\}; \\ & \vec{b} = \{6 - 1; 3 - 1\} = \{5; 2\}. \end{aligned}
Скалярное произведение векторов \vec{a}\skob{x_1; y_1} и \vec{b}\skob{x_2; y_2} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2.
Следовательно, скалярное произведение векторов \vec{a} и \vec{b} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 35 + 6 = 41.
На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты векторов \vec{a} и \vec{b}: \begin{aligned} & \vec{a} = \{3 - 1; 4 - 1\} = \{2; 3\}; \\ & \vec{b} = \{5 - 3; 2 - 3\} = \{2; -1\}. \end{aligned}
Скалярное произведение векторов \vec{a}\skob{x_1; y_1} и \vec{b}\skob{x_2; y_2} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2.
Следовательно, скалярное произведение векторов \vec{a} и \vec{b} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 4 - 3 = 1.
Скалярное произведение векторов-выражений.
Даны векторы \vec{a} (2; 1) и \vec{b} (2; -4). Найдите скалярное произведение векторов (\vec{a} + \vec{b}) и (7\vec{a} - \vec{b}).
Разбор решения
Найдем координаты векторов (\vec{a} + \vec{b}) и (7\vec{a} - \vec{b}): \begin{gathered} \vec{a} + \vec{b} = \{2 + 2; 1 + (-4)\} = \{4; -3\} \\ 7\vec{a} - \vec{b} = \{7 \cdot 2 - 2; 7 \cdot 1 - (-4)\} = \{12; 11\}. \end{gathered}
Скалярное произведение векторов \vec{a}\skob{x_1; y_1} и \vec{b}\skob{x_2; y_2} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2.
Следовательно, скалярное произведение векторов (\vec{a} + \vec{b}) и (7\vec{a} - \vec{b}) равно: (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (7\vec{a} - \vec{b}) = 4 \cdot 12 + (-3) \cdot 11 = 48 - 33 = 15.
Через длины и угол.
Длины векторов \vec{a} и \vec{b} равны 3 и 7, а угол между ними равен \ang{60}. Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Разбор решения
Мы знаем, что \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \phi, где \phi — угол между векторами \vec{a} и \vec{b}.
Тогда \begin{gathered} \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \phi = \\[1ex] = 3 \cdot 7 \cdot \cos \ang{60} = \dfrac{21}{2} = 10,5. \end{gathered}
Задачи как в сборнике Ященко и СтатГраде
Уверенный уровень
Задачи ниже составлены по образцу сборника ЕГЭ под редакцией И. В. Ященко, тренировочных работ СтатГрад и вариантов ЕГЭ прошлых лет. Формулировки, рисунки и ход решения такие же, поменялись только числа. Такие задачи решают в школах и дают на пробных экзаменах, поэтому к ним стоит быть готовым.
2. Длина вектора: несколько векторов, дробные множители
По образцу СтатГрада Найдите длину вектора \vec{a}(-8; -15).
Решение
По теореме Пифагора: |\vec{a}| = \sqrt{(-8)^2 + (-15)^2} = \sqrt{289} = 17.
По образцу СтатГрада Найдите длину вектора 2\vec{a}, если \vec{a}(-12; 5).
Решение
Координаты: 2\vec{a} = (-24; 10).
Длина: |2\vec{a}| = \sqrt{(-24)^2 + 10^2} = \sqrt{676} = 26.
Можно и короче: |\vec{a}| = 13, а при умножении на 2 длина тоже умножается на 2.
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(-3; -2) и \vec{b}(6; 7). Найдите длину вектора 3\vec{a} - 2\vec{b}.
Решение
Сначала умножаем: 3\vec{a} = (-9; -6), 2\vec{b} = (12; 14).
Вычитаем по координатам: 3\vec{a} - 2\vec{b} = (-21; -20).
Длина: |3\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{(-21)^2 + (-20)^2} = \sqrt{841} = 29.
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(2; 4) и \vec{b}(4; 7). Найдите длину вектора 1{,}3\vec{a} - 0{,}4\vec{b}.
Решение
Умножаем: 1{,}3\vec{a} = (2{,}6; 5{,}2), 0{,}4\vec{b} = (1{,}6; 2{,}8).
Вычитаем: 1{,}3\vec{a} - 0{,}4\vec{b} = (1; 2{,}4).
Длина: \sqrt{1^2 + 2{,}4^2} = \sqrt{6{,}76} = 2{,}6.
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(6; -2), \vec{b}(-4; -3) и \vec{c}(-2; 5). Найдите длину вектора \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}.
Решение
Складываем и вычитаем по координатам.
Первая: 6 - (-4) + (-2) = 8.
Вторая: -2 - (-3) + 5 = 6.
Получили вектор (8; 6). Длина: |\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10.
По образцу СтатГрада Даны векторы \vec{a}(-7; 6), \vec{b}(2; -3) и \vec{c}(2; 6). Найдите длину вектора \vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}.
Решение
\frac{1}{2}\vec{c} = (1; 3).
\vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = (-7 + 2 - 1; 6 + (-3) - 3) = (-6; 0).
Длина: |\vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}| = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = 6.
По образцу СтатГрада Даны три вектора \vec{a}(4; -3), \vec{b}(1; 5) и \vec{c}(-3; -5). Найдите длину вектора \vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}.
Решение
2\vec{b} = (2; 10).
\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} = (4 + 2 - (-3); -3 + 10 - (-5)) = (9; 12).
Длина: |\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15.
По образцу ЕГЭ прошлых лет Даны векторы \vec{a}(5; -3), \vec{b}(7; 9) и \vec{c}(14; 2). Найдите сумму координат вектора \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}.
Решение
\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = (5 + 7 - 14; -3 + 9 - 2) = (-2; 4).
Сумма координат: -2 + 4 = 2.
3. Задачи по рисунку
По образцу ЕГЭ прошлых лет На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора \vec{a} - \vec{b}.
Решение
Координаты по клеткам (конец минус начало): \vec{a} = (-1 - (-3); 3 - (-4)) = (2; 7), \vec{b} = (9 - 2; -2 - 3) = (7; -5).
\vec{a} - \vec{b} = (-5; 12).
Длина: |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13.
По образцу сборника И. В. Ященко На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координаты у которых — целые числа. Найдите длину вектора 4\vec{b} - \vec{a}.
Решение
По рисунку: \vec{a} = (-7 - (-4); -1 - 3) = (-3; -4), \vec{b} = (3 - 2; 3 - (-2)) = (1; 5).
4\vec{b} = (4; 20), 4\vec{b} - \vec{a} = (7; 24).
Длина: |4\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25.
По образцу сборника И. В. Ященко На координатной плоскости изображены векторы \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}, координаты этих векторов — целые числа. Найдите длину вектора \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}.
Решение
По рисунку: \vec{a} = (-4 - (-7); 3 - (-2)) = (3; 5), \vec{b} = (4 - 1; 3 - 5) = (3; -2), \vec{c} = (6 - 6; -4 - 1) = (0; -5).
\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = (6; 8).
Длина: |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10.
По образцу СтатГрада Найдите квадрат длины вектора \vec{a} + \vec{b}.
Решение
Координаты по подписям на осях: \vec{a} = (2 - 5; 7 - 4) = (-3; 3), \vec{b} = (7 - 3; 3 - 1) = (4; 2).
\vec{a} + \vec{b} = (1; 5).
Квадрат длины: 1^2 + 5^2 = 26. Корень извлекать не нужно.
По образцу СтатГрада Найдите \left(\vec{a} - \vec{b}\right)^2.
Решение
Оба вектора выходят из начала координат, поэтому их координаты равны координатам концов: \vec{a}(3; 7), \vec{b}(9; 4).
\vec{a} - \vec{b} = (-6; 3).
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: (-6)^2 + 3^2 = 45.
По образцу СтатГрада На координатной плоскости изображён вектор \overrightarrow{AB}. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}.
Решение
A(-4; -3), B(3; 2). Координаты вектора: \overrightarrow{AB} = (3 - (-4); 2 - (-3)) = (7; 5).
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = 7 \cdot 7 + 5 \cdot 5 = 74.
По образцу сборника И. В. Ященко На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координаты этих векторов — целые числа. Найдите координаты вектора \vec{c}, если \vec{c} = 0{,}5\vec{b} - \vec{a}. В ответ запишите сумму координат вектора \vec{c}.
Решение
По рисунку: \vec{a} = (-3 - (-6); 6 - 2) = (3; 4), \vec{b} = (7 - 2; 3 - (-3)) = (5; 6).
0{,}5\vec{b} = (2{,}5; 3), \vec{c} = 0{,}5\vec{b} - \vec{a} = (-0{,}5; -1).
Сумма координат: -0{,}5 + (-1) = -1{,}5.
По образцу сборника И. В. Ященко На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координаты этих векторов — целые числа. Найдите координаты вектора \vec{c}(x_c;\, y_c), если \vec{c} = \vec{a} - 1{,}5\vec{b}. В ответ запишите произведение x_c \cdot y_c.
Решение
По рисунку: \vec{a} = (1 - (-5); 4 - (-2)) = (6; 6), \vec{b} = (4 - 2; 1 - 5) = (2; -4).
1{,}5\vec{b} = (3; -6), \vec{c} = \vec{a} - 1{,}5\vec{b} = (3; 12).
Произведение: 3 \cdot 12 = 36.
4. Скалярное произведение
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(12; -0{,}5) и \vec{b}(3; 8). Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Решение
\vec{a} \cdot \vec{b} = 12 \cdot 3 + (-0{,}5) \cdot 8 = 36 + (-4) = 32.
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(3; -4) и \vec{b}(6; 2). Найдите скалярное произведение векторов 0{,}5\vec{a} и 1{,}2\vec{b}.
Решение
0{,}5\vec{a} = (1{,}5; -2), 1{,}2\vec{b} = (7{,}2; 2{,}4).
Скалярное произведение: 1{,}5 \cdot 7{,}2 + (-2) \cdot 2{,}4 = 10{,}8 + (-4{,}8) = 6.
Можно быстрее: множители выносятся, 0{,}5 \cdot 1{,}2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0{,}6 \cdot 10 = 6.
По образцу ЕГЭ прошлых лет Даны векторы \vec{a}(1; 3) и \vec{b}(2; -1). Найдите скалярное произведение векторов 3\vec{a} + \vec{b} и 2\vec{a} - \vec{b}.
Решение
3\vec{a} + \vec{b} = (3 + 2; 9 - 1) = (5; 8).
2\vec{a} - \vec{b} = (2 - 2; 6 + 1) = (0; 7).
Скалярное произведение: 5 \cdot 0 + 8 \cdot 7 = 56.
По образцу СтатГрада Даны векторы \vec{a}(-15; 4), \vec{b}(11; -1) и \vec{c}(-3; -5). Найдите скалярное произведение (\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}.
Решение
\vec{a} + \vec{b} = (-15 + 11; 4 - 1) = (-4; 3).
(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c} = (-4) \cdot (-3) + 3 \cdot (-5) = -3.
По образцу СтатГрада Даны векторы \vec{a}(7; -2), \vec{b}(9; -6) и \vec{c}(5; 3). Найдите значение выражения \left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot\vec{c}.
Решение
\vec{a} - \vec{b} = (7 - 9; -2 - (-6)) = (-2; 4).
\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot\vec{c} = (-2) \cdot 5 + 4 \cdot 3 = 2.
По образцу сборника И. В. Ященко На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координаты у которых — целые числа. Найдите скалярное произведение векторов \vec{a} и 3\vec{b}.
Решение
По рисунку: \vec{a} = (2 - (-5); 6 - 1) = (7; 5), \vec{b} = (7 - 4; 3 - 7) = (3; -4).
3\vec{b} = (9; -12).
\vec{a} \cdot 3\vec{b} = 7 \cdot 9 + 5 \cdot (-12) = 3.
По образцу сборника И. В. Ященко На координатной плоскости изображены векторы \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}, координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \left(\vec{b} + \vec{c}\right).
Решение
По рисунку: \vec{a} = (-2 - (-6); -6 - (-3)) = (4; -3), \vec{b} = (3 - 1; 6 - 1) = (2; 5), \vec{c} = (7 - 4; 2 - 4) = (3; -2).
\vec{b} + \vec{c} = (5; 3).
\vec{a} \cdot \left(\vec{b} + \vec{c}\right) = 4 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 = 11.
По образцу СтатГрада На координатной плоскости изображены векторы \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}. Найдите значение выражения (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}.
Решение
По рисунку: \vec{a} = (4 - 1; 7 - 2) = (3; 5), \vec{b} = (8 - 5; 3 - 1) = (3; 2), \vec{c} = (10 - 8; 1 - 6) = (2; -5).
\vec{a} + \vec{b} = (6; 7).
(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c} = 6 \cdot 2 + 7 \cdot (-5) = -23.
По образцу СтатГрада Длина вектора \vec{a} равна 4\sqrt{3}, угол между векторами \vec{a} и \vec{b} равен 60^\circ, а скалярное произведение векторов \vec{a} и \vec{b} равно 9\sqrt{3}. Найдите длину вектора \vec{b}.
Решение
По второй формуле: \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 60^\circ.
Подставляем: 9\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{2}, то есть 9\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot |\vec{b}|.
|\vec{b}| = \frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 4{,}5.
5. Косинус угла между векторами
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(-24; 7) и \vec{b}(8; -6). Найдите косинус угла между векторами \vec{a} и \vec{b}.
Решение
1) Скалярное произведение: -24 \cdot 8 + 7 \cdot (-6) = -234.
2) Длины: |\vec{a}| = \sqrt{(-24)^2 + 7^2} = \sqrt{625} = 25, |\vec{b}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{100} = 10.
3) Делим: \cos \alpha = \frac{-234}{25 \cdot 10} = -0{,}936.
По образцу ЕГЭ прошлых лет Даны векторы \vec{a}(-6; -8) и \vec{b}(-4; -3). Найдите косинус угла между ними.
Решение
1) Скалярное произведение: -6 \cdot (-4) + (-8) \cdot (-3) = 48.
2) Длины: |\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{100} = 10, |\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5.
3) Делим: \cos \alpha = \frac{48}{10 \cdot 5} = 0{,}96.
По образцу сборника И. В. Ященко На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координаты этих векторов — целые числа. Найдите \cos \alpha, где \alpha — угол между векторами \vec{a} и \vec{b}.
Решение
По рисунку: \vec{a} = (-5 - (-2); 5 - 1) = (-3; 4), \vec{b} = (7 - 1; 5 - (-3)) = (6; 8).
1) Скалярное произведение: -3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 14.
2) Длины: |\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5, |\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10.
3) Делим: \cos \alpha = \frac{14}{5 \cdot 10} = 0{,}28.
По образцу СтатГрада Даны векторы \vec{a}\left(-3; \sqrt{7}\right) и \vec{b}\left(3; \sqrt{7}\right). Найдите косинус угла между векторами \vec{a} и \vec{b}.
Решение
1) \vec{a} \cdot \vec{b} = -3 \cdot 3 + \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = -9 + 7 = -2.
2) |\vec{a}| = \sqrt{9 + 7} = 4, |\vec{b}| = \sqrt{9 + 7} = 4.
3) \cos \alpha = \frac{-2}{4 \cdot 4} = -0{,}125.
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}\left(6; y_a\right) и \vec{b}\left(x_b; 0\right), косинус угла между которыми равен \frac{3}{\sqrt{13}}. Найдите y_a. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.
Решение
Скалярное произведение: \vec{a} \cdot \vec{b} = 6x_b + y_a \cdot 0 = 6x_b. Длины: |\vec{b}| = |x_b|, |\vec{a}| = \sqrt{36 + y_a^2}.
\cos \alpha = \frac{6x_b}{\sqrt{36 + y_a^2} \cdot |x_b|}. Косинус положительный, значит, x_b \gt 0 и \frac{x_b}{|x_b|} = 1.
Получаем \frac{6}{\sqrt{36 + y_a^2}} = \frac{3}{\sqrt{13}}, откуда \sqrt{36 + y_a^2} = 2\sqrt{13}, 36 + y_a^2 = 52, y_a^2 = 16.
y_a = 4 или y_a = -4. Большее: 4.
6. Неизвестная координата
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(-4; -5) и \vec{b}\left(3; b_0\right). Найдите b_0, если \vec{a} \cdot \vec{b} = 0.
Решение
\vec{a} \cdot \vec{b} = -4 \cdot 3 + (-5) \cdot b_0 = -12 - 5b_0.
-12 - 5b_0 = 0, b_0 = -2{,}4.
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(-2; 5), \vec{b}(5; 3) и \vec{c}\left(2; c_0\right). Найдите c_0, если \left(\vec{a} + \vec{b}\right) \cdot \vec{c} = 0.
Решение
\vec{a} + \vec{b} = (3; 8).
\left(\vec{a} + \vec{b}\right) \cdot \vec{c} = 3 \cdot 2 + 8c_0 = 6 + 8c_0.
6 + 8c_0 = 0, c_0 = -0{,}75.
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(4; -2), \vec{b}(1; 3) и \vec{c}\left(c_0; 5\right). Найдите c_0, если \vec{a} \cdot \left(\vec{b} - \vec{c}\right) = 0.
Решение
\vec{b} - \vec{c} = (1 - c_0; -2).
\vec{a} \cdot \left(\vec{b} - \vec{c}\right) = 4(1 - c_0) + (-2) \cdot (-2) = 8 - 4c_0.
8 - 4c_0 = 0, c_0 = 2.
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(4; 2) и \vec{b}\left(-3; b_0\right). Найдите b_0, если |\vec{b}| = 1{,}5|\vec{a}|. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
Решение
Удобнее работать с квадратами длин: |\vec{a}|^2 = 16 + 4 = 20, |\vec{b}|^2 = 9 + b_0^2.
Из условия |\vec{b}|^2 = 1{,}5^2 \cdot |\vec{a}|^2 = 2{,}25 \cdot 20 = 45.
9 + b_0^2 = 45, b_0^2 = 36, b_0 = \pm 6. Меньшее: -6.
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(2; 1) и \vec{b}\left(b_0; 5\right). Найдите b_0, если |\vec{b}| = 2{,}5|\vec{a}|. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.
Решение
|\vec{a}|^2 = 4 + 1 = 5, |\vec{b}|^2 = b_0^2 + 25.
|\vec{b}|^2 = 2{,}5^2 \cdot 5 = 6{,}25 \cdot 5 = 31{,}25.
b_0^2 + 25 = 31{,}25, b_0^2 = 6{,}25, b_0 = \pm 2{,}5. Большее: 2{,}5.
7. Сонаправленные и противоположно направленные векторы
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(6; -3) и \vec{b}(-1; 2). Известно, что векторы \vec{c}\left(x_c; y_c\right) и \vec{b} сонаправленные, а |\vec{c}| = |\vec{a}|. Найдите x_c + y_c.
Решение
Сонаправленные векторы отличаются положительным множителем: \vec{c} = k\vec{b}, k \gt 0.
Длины: |\vec{a}| = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}, |\vec{b}| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.
|\vec{c}| = k|\vec{b}|, поэтому k = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 3.
\vec{c} = 3\vec{b} = (-3; 6), x_c + y_c = 3.
По образцу сборника И. В. Ященко Даны векторы \vec{a}(2; -4) и \vec{b}(2; 1). Известно, что |\vec{c}| = |\vec{a}|, а векторы \vec{c}\left(x_c; y_c\right) и \vec{b} противоположно направленные. Найдите x_c + y_c.
Решение
Противоположно направленные векторы отличаются отрицательным множителем: \vec{c} = k\vec{b}, k \lt 0.
|\vec{a}| = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}, |\vec{b}| = \sqrt{5}.
|k| = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2, и k \lt 0, значит, k = -2.
\vec{c} = -2\vec{b} = (-4; -2), x_c + y_c = -6.
Вопросы с урока
Эти вопросы задавали ученики, когда мы разбирали векторы на уроках.
(3; −4) это точка?
Запись похожа, но смысл другой. Точка показывает место на плоскости. Вектор (3; -4) показывает перемещение: 3 шага вправо и 4 вниз. Откуда он начинается, по координатам узнать нельзя, и для задачи это не важно.
Вектор всегда выходит из нуля?
Нет, его можно поставить в любую точку. Из начала координат рисовать удобно: тогда координаты вектора совпадают с координатами его конца. Но на рисунках в задачах векторы обычно стоят где угодно, поэтому координаты считают как «конец минус начало».
Почему у длины перед корнем только плюс?
Длина вектора равна расстоянию от начала до конца, а расстояние отрицательным не бывает. А минусы координат пропадают, когда их возводят в квадрат.
Что делать сначала в 4a + 2b?
Как с обычными числами: сначала умножение, потом сложение. Умножаете координаты \vec{a} на 4, координаты \vec{b} на 2, потом складываете.
Можно найти |a − b| как |a| − |b|?
Нельзя. Сначала находите вектор \vec{a} - \vec{b} по координатам, потом его длину. Разность длин обычно даёт другое число.
Как запомнить формулу скалярного произведения?
Напишите координаты векторов друг под другом и перемножьте по столбикам: первое на первое, второе на второе. Потом сложите. Вторую формулу, с косинусом, можно вывести из первой, если забыли (см. раздел «Чуть глубже»).
Если c сонаправлен с b, можно просто поменять знаки у a?
Нет. Направление \vec{c} берётся от \vec{b}: \vec{c} = k\vec{b} с положительным k. От \vec{a} нужна только длина. Одного уравнения «длина \vec{c} равна длине \vec{a}» мало, потому что неизвестных координат две, второе условие даёт коллинеарность с \vec{b}.
Зачем теорема косинусов, если есть формула?
Чтобы понять, откуда формула, и не зубрить её. Решать через неё на экзамене можно, но дольше. На уроках мы так делаем, чтобы проверить, что обе дороги приводят к одному ответу.
Шпаргалка по заданию 2
| Что найти | Как |
|---|---|
| Координаты по рисунку минимум | конец минус начало, или шаги по клеткам |
| Длину вектора минимум | \sqrt{x^2 + y^2} |
| 3\vec{a} - 2\vec{b} минимум | умножить координаты, потом вычесть по координатам |
| Скалярное произведение минимум | x_1 x_2 + y_1 y_2 или |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha |
| Косинус угла уверенный | скалярное произведение разделить на произведение длин |
| Перпендикулярность уверенный | \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 |
| Коллинеарность уверенный | \vec{c} = k\vec{b}: k \gt 0 сонаправлены, k \lt 0 противоположно |
| Квадрат вектора уверенный | \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2, корень не нужен |
Как записать ответ и частые ошибки
Ответ в задании 2 записывают числом: целым или конечной десятичной дробью, без единиц измерения. Если спрашивают длину и получился корень, который не извлекается, проверьте вычисления: в ЕГЭ длина почти всегда выходит целой или десятичной.
Чаще всего ошибаются со знаками. При вычитании 2 - (-3) = 5, а при умножении -2 \cdot (-4) = 8. Помогает записывать отрицательные числа в скобках.
Путают порядок в рисунке: считают «начало минус конец». Путают длину суммы и сумму длин. Забывают, что «квадрат длины» или (\vec{a} - \vec{b})^2 значит без корня. В задаче на косинус делят на сумму длин вместо произведения.
Проверьте себя: задачи банка ФИПИ подряд
Шесть задач разных видов из открытого банка. Решите их подряд, как на экзамене. Если что-то не получилось, вернитесь к разделу этого вида выше.
На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора \vec{a} + \vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты векторов \vec{a} и \vec{b}: \begin{aligned} & \vec{a} = \{3 - 1;\ 5 - 1\} = \{2;\ 4\}; \\ & \vec{b} = \{6 - 2;\ 5 - 1\} = \{4;\ 4\}. \end{aligned}
Тогда \vec{a} + \vec{b} = \{2 + 4;\ 4 + 4\} = \{6;\ 8\}.
Следовательно, \left|\vec{a} + \vec{b}\right| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10.
На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора \vec{a} + 3\vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты векторов \vec{a} и \vec{b}: \begin{aligned} & \vec{a} = \{3 - 1; 4 - 1\} = \{2; 3\}; \\ & \vec{b} = \{5 - 3; 2 - 3\} = \{2; -1\}. \end{aligned}
Тогда \vec{a} + 3\vec{b} = \{2 + 3 \cdot 2; 3 + 3 \cdot (-1)\} = \{8; 0\}.
Следовательно, \left|\vec{a} + 3\vec{b}\right| = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8.
На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Разбор решения
Найдем координаты векторов \vec{a} и \vec{b}: \begin{aligned} & \vec{a} = \{3 - 1; 4 - 1\} = \{2; 3\}; \\ & \vec{b} = \{5 - 3; 2 - 3\} = \{2; -1\}. \end{aligned}
Скалярное произведение векторов \vec{a}\skob{x_1; y_1} и \vec{b}\skob{x_2; y_2} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2.
Следовательно, скалярное произведение векторов \vec{a} и \vec{b} равно \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 4 - 3 = 1.
На координатной плоскости изображён вектор \overrightarrow{AB}. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}.
Разбор решения
A(-4; -3), B(3; 2). Координаты вектора: \overrightarrow{AB} = (3 - (-4); 2 - (-3)) = (7; 5).
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = 7 \cdot 7 + 5 \cdot 5 = 74.
Даны три вектора \vec{a}(4; -3), \vec{b}(1; 5) и \vec{c}(-3; -5). Найдите длину вектора \vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}.
Разбор решения
2\vec{b} = (2; 10).
\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} = (4 + 2 - (-3); -3 + 10 - (-5)) = (9; 12).
Длина: |\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15.
Даны векторы \vec{a}(-24; 7) и \vec{b}(8; -6). Найдите косинус угла между векторами \vec{a} и \vec{b}.
Разбор решения
1) Скалярное произведение: -24 \cdot 8 + 7 \cdot (-6) = -234.
2) Длины: |\vec{a}| = \sqrt{(-24)^2 + 7^2} = \sqrt{625} = 25, |\vec{b}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{100} = 10.
3) Делим: \cos \alpha = \frac{-234}{25 \cdot 10} = -0{,}936.
Что дальше
Когда задание 2 начнёт получаться, переходите к соседним номерам первой части: планиметрии в задании 1, стереометрии в задании 3 и вероятностям в заданиях 4 и 5. Теорема Пифагора и подобие из этой статьи пригодятся и там. Если хотите готовиться к ЕГЭ с преподавателем, запишитесь на бесплатное пробное занятие. Посмотрим, какие номера уже получаются, а какие стоит подтянуть, и составим план до экзамена.
Частые вопросы
Что такое вектор простыми словами?
Это перемещение: откуда вышли и куда пришли. Вектор с координатами (3; 4) значит «пройти 3 клетки вправо и 4 вверх». Рисуют его стрелкой. Одинаковые по направлению и длине стрелки в разных местах плоскости считаются одним и тем же вектором.
Как найти координаты вектора по рисунку?
Посчитайте по клеткам, на сколько сдвигается стрелка от начала к концу: вправо со знаком плюс, влево со знаком минус, вверх плюс, вниз минус. Формулой: из координат конца вычесть координаты начала.
Как найти длину вектора?
По теореме Пифагора: длина вектора (x; y) равна корню из x² + y². Например, у вектора (6; −8) длина равна корню из 36 + 64, то есть 10.
Как сложить векторы и умножить вектор на число?
Складывают по координатам: (2; 1) + (5; 3) = (7; 4). При умножении на число умножают каждую координату: 2 · (3; −1) = (6; −2). Умножение на −1 меняет все знаки, стрелка поворачивается в обратную сторону.
Что такое скалярное произведение и как его запомнить?
Это число, которое получается из двух векторов: x₁x₂ + y₁y₂. Запоминают так: иксы перемножить, игреки перемножить, результаты сложить. Вторая формула: произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Как найти косинус угла между векторами?
Найдите скалярное произведение по координатам и разделите его на произведение длин векторов. Если получилось отрицательное число, угол тупой.
Когда векторы перпендикулярны?
Когда их скалярное произведение равно нулю. Это следует из второй формулы: косинус прямого угла равен 0.
Что такое коллинеарные, сонаправленные и противоположно направленные векторы?
Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и один получается из другого умножением на число k. Если k больше нуля, векторы сонаправлены, если меньше нуля, направлены противоположно. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Сколько баллов даёт задание 2 и какие там задачи?
1 первичный балл, ответ записывают числом. В демоверсии 2027 года и в открытом банке ФИПИ два вида: найти длину вектора вроде 7a − b и найти скалярное произведение, по координатам или по рисунку на клетчатой плоскости.
Что прочитать, если до экзамена один день?
Только блоки с меткой «Минимум к ЕГЭ»: координаты, длина, сумма и умножение на число, скалярное произведение. И решите задачи банка ФИПИ из практики. Косинус угла, коллинеарность и вывод формул оставьте.
Источники: демонстрационный вариант ЕГЭ 2027 года по математике профильного уровня и открытый банк заданий ФИПИ (fipi.ru); сборник «ЕГЭ. Математика. Профильный уровень» под редакцией И. В. Ященко, тренировочные работы СтатГрад и варианты ЕГЭ прошлых лет (по их образцу составлены задачи раздела «Уверенный уровень», числа изменены); уроки школы «Репка». Задачи взяты из открытого банка заданий ФИПИ или составлены преподавателями «Репки», решения и пояснения написали наши преподаватели.
Разберём ваши ошибки на бесплатном пробном
Преподаватель посмотрит, как вы решаете эти задания, покажет слабые места и составит план подготовки. В кабинете ученика есть разборы всех задач банка, домашние с проверкой и прогноз балла.
Читайте также
Задание 6 ЕГЭ по профильной математике: случайные величины с нуля до ответа
Новое задание 6 ЕГЭ 2027 простыми словами: случайная величина, математическое ожидание, дисперсия, биномиальное, равномерное, нормальное и показательное распределения. Что нужно минимум и что для уверенного уровня. Интерактивы, разборы и 129 задач с проверкой.
Задание 15 ОГЭ по математике: треугольники — что нужно знать
Задание 15 ОГЭ по геометрии: сумма углов и внешний угол с доказательством, равнобедренный и прямоугольный треугольник, синус и косинус, медиана, биссектриса, площадь. Интерактивные чертежи, разборы и задачи ФИПИ с проверкой.
Задание 16 ОГЭ по математике: окружность, вписанные и описанные фигуры
Все типы задания 16 ОГЭ: вписанный и центральный угол, диаметр, вписанный четырёхугольник и трапеция, касательные, описанный четырёхугольник, правильный треугольник и квадрат, S = pr, теорема синусов. Интерактивные чертежи с доказательствами и задачи ФИПИ с разбором.