РепкаЗадание 6 ЕГЭ по профильной математике: случайные величины с нуля до ответа
Что за задание
Задание 6 впервые появится в ЕГЭ 2027 года по профильной математике. В нём нужно посчитать, сколько в среднем принесёт игра или лотерея, а иногда ещё и насколько сильно скачет результат. За задание дают 1 первичный балл, ответ записывают целым числом или десятичной дробью. Считать придётся немного: в основном умножать и складывать.
Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.
| Выигрыш, ₽ | 100 | 1000 | 5000 | 10 000 | 50 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| Число выигрышных билетов | 500 | 100 | 50 | 10 | 1 |
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Если пока непонятно, что здесь спрашивают, это нормально: ниже всё объясняется по порядку. Разбор этой задачи по шагам есть в разделе про лотереи.
Открытого банка ФИПИ по этому заданию пока нет, поэтому мы собрали все виды задач, которые по школьной программе могут попасться, 129 штук с проверкой ответа. Можно идти по статье сверху вниз или сразу перейти к задачам.
Случайная величина: число, которое заранее неизвестно
Бросаете кубик, и выпадает какое-то число от 1 до 6. Какое именно, заранее не скажешь. Покупаете лотерейный билет и выигрываете 0, 100 или 1000 рублей. Такие числа называют случайными величинами и обозначают большой буквой, обычно X.
Какое значение выпадет в этот раз, мы не знаем. Зато обычно знаем, какие значения возможны и насколько каждое из них вероятно. Это записывают в таблицу.
На гранях кубика написаны числа 1, 1, 2, 3, 3, 3. Бросаем его один раз. Единица написана на двух гранях из шести, двойка на одной, тройка на трёх. Получается таблица:
| Выпадет X | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | \frac{2}{6} | \frac{1}{6} | \frac{3}{6} |
Вероятности в сумме дают \frac{2}{6} + \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = 1.
Математическое ожидание: сколько получится в среднем
Представьте игру. Вы бросаете кубик. Если выпала шестёрка, получаете 60 рублей, если что-то другое, не получаете ничего. Сколько вы зарабатываете в среднем за одну игру?
Проще всего сыграть много раз и посмотреть. Нажмите «× 100» несколько раз:
Сначала среднее скачет, потом всё ближе подходит к 10 рублям. Это число называют математическим ожиданием. Столько в среднем приносит одна игра, если играть долго.
По-русски говорят «математическое ожидание», коротко «матожидание», или просто «среднее значение». По-английски это expected value, то есть «ожидаемое значение», а среднее значение называют mean. Обозначают E(X) или EX, буква E взята от английского expectation. В вузовских и старых учебниках встречается обозначение M(X).
Как посчитать без тысячи бросков
Шестёрка выпадает в среднем один раз из шести. Значит, за 600 игр будет около 100 шестёрок и около 100 \cdot 60 = 6000 рублей. На одну игру приходится 6000 : 600 = 10 рублей. Короче то же самое записывается так: выигрыш умножаем на его вероятность, 60 \cdot \frac{1}{6} = 10.
Если возможных выигрышей несколько, считаем так для каждого и складываем. Получается формула матожидания:
Допустим, за одну игру просят 15 рублей. Стоит ли играть? В среднем игра приносит 10 рублей, а стоит 15. Значит, с каждой игры вы в среднем теряете 15 - 10 = 5 рублей. Казино и лотереи считают именно так и назначают цену выше матожидания.
У обычного кубика матожидание числа очков равно \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5. Числа 3,5 на кубике нет. Матожидание показывает среднее за много бросков: за 100 бросков сумма очков будет около 350.
Матожидание удобно представить как точку равновесия. Поставьте на рычаг грузы весом в вероятность в точки-значения. Рычаг уравновесится ровно в точке матожидания, потому что частые значения перетягивают среднее к себе.
Разбор по шагам. Курьер за смену доставляет от 2 до 5 заказов. Вероятности показаны в таблице. Найдите математическое ожидание числа заказов за смену.
- Проверяем таблицу: вероятности в сумме дают 1. Можно считать.
- Первое значение умножаем на его вероятность: 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}2.
- Второе: 3 \cdot 0{,}4 = 1{,}2.
- Остальные: 4 \cdot 0{,}3 = 1{,}2 и 5 \cdot 0{,}2 = 1.
- Складываем: 0{,}2 + 1{,}2 + 1{,}2 + 1 = 3{,}6. Ответ лежит между самым маленьким значением (2) и самым большим (5), так и должно быть.
Ответ: 3,6.
Попробуйте сами. Случайная величина X принимает значения -1, 0, 2, 5 с вероятностями 0{,}2, 0{,}3, 0{,}4, 0{,}1. Найдите E(X).
Решение
-1 \cdot 0{,}2 = -0{,}2; 0 \cdot 0{,}3 = 0; 2 \cdot 0{,}4 = 0{,}8; 5 \cdot 0{,}1 = 0{,}5. Складываем: -0{,}2 + 0{,}8 + 0{,}5 = 1{,}1.
Случайная величина X задана таблицей распределения.
| Значение X | −2 | 3 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,55 | 0,05 | 0,25 | 0,15 |
Найдите математическое ожидание этой случайной величины.
Разбор решения
Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.
\begin{gathered} E(X) = (-2)\cdot 0{,}55 + 3\cdot 0{,}05 + 5\cdot 0{,}25 + 6\cdot 0{,}15 = \\[1ex] = -1{,}1 + 0{,}15 + 1{,}25 + 0{,}9 = 1{,}2. \end{gathered}
Мастер проверяет партию деталей. Случайная величина X — число бракованных деталей в партии. Её распределение показано в таблице.
| Число бракованных деталей | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,55 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,05 |
Найдите математическое ожидание числа бракованных деталей в партии.
Разбор решения
Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.
\begin{gathered} E(X) = 0\cdot 0{,}55 + 1\cdot 0{,}1 + 2\cdot 0{,}2 + 3\cdot 0{,}1 + 4\cdot 0{,}05 = \\[1ex] = 0 + 0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1. \end{gathered}
Баскетболист выполняет серию из четырёх штрафных бросков. Распределение числа попаданий в серии показано в таблице.
| Число попаданий | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,1 | 0,1 | 0,5 | 0,1 | 0,2 |
Найдите математическое ожидание числа попаданий в серии.
Разбор решения
Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.
\begin{gathered} E(X) = 0\cdot 0{,}1 + 1\cdot 0{,}1 + 2\cdot 0{,}5 + 3\cdot 0{,}1 + 4\cdot 0{,}2 = \\[1ex] = 0 + 0{,}1 + 1 + 0{,}3 + 0{,}8 = 2{,}2. \end{gathered}
Таблицу составляем сами: кубик, монеты, шары
Иногда таблицы в условии нет, и её нужно составить самому. Порядок всегда один:
- Выписать, какие значения может принять X.
- Для каждого значения найти вероятность, как в заданиях 4 и 5: подходящие исходы делим на все.
- Проверить, что сумма вероятностей равна 1, и посчитать матожидание.
Монету бросают дважды, X равно числу орлов. Исходов четыре: ОО, ОР, РО, РР.
| Орлов X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Исходы | РР | ОР, РО | ОО |
| Вероятность | 0,25 | 0,5 | 0,25 |
Матожидание: 0 \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}25 = 1. Логично: орёл выпадает в половине бросков, а бросков два.
Разбор по шагам. В коробке 5 шаров: 3 красных и 2 белых. Наугад вынимают два шара, X равно числу красных среди них. Найдите E(X).
- Всего способов вынуть 2 шара из 5: \frac{5 \cdot 4}{2} = 10. Красных среди двух может быть 0, 1 или 2.
- Ни одного красного значит, что вынули оба белых. Такой способ один, вероятность \frac{1}{10} = 0{,}1.
- Ровно один красный: красный выбираем 3 способами, белый 2 способами, всего 3 \cdot 2 = 6 способов. Вероятность 0{,}6.
- Два красных можно вынуть \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 способами, вероятность 0{,}3. Сумма вероятностей равна 1.
- Матожидание: 0 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}6 + 2 \cdot 0{,}3 = 1{,}2.
Ответ: 1,2.
Быстрая проверка: почему ответ равен 2 · 3/5
Каждый из двух вынутых шаров красный с вероятностью \frac{3}{5}. Среднее число красных среди двух шаров равно \frac{3}{5} + \frac{3}{5} = 1{,}2. С монетой так же: \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. Почему так можно, объясняем ниже, в разделе про свойства.
Попробуйте сами. На гранях кубика написаны числа 1, 1, 1, 3, 3, 9. Кубик бросают один раз. Найдите математическое ожидание выпавшего числа.
Решение
Все грани одинаково вероятны, поэтому матожидание равно обычному среднему чисел на гранях: (1 + 1 + 1 + 3 + 3 + 9) : 6 = 18 : 6 = 3.
На гранях игрального кубика вместо точек написаны числа 1, 1, 2, 3, 3, 5. Кубик бросают один раз. Найдите математическое ожидание выпавшего числа.
Разбор решения
Каждая грань выпадает с вероятностью \dfrac{1}{6}, поэтому математическое ожидание равно среднему арифметическому чисел на гранях.
E(X) = \dfrac{1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 5}{6} = \dfrac{15}{6} = 2{,}5.
Найдите математическое ожидание числа очков, которое выпадает при одном бросании обычного игрального кубика.
Разбор решения
Очки от 1 до 6 выпадают с одинаковой вероятностью \dfrac{1}{6}.
E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5.
В коробке 10 шаров: три белых и семь чёрных. Из коробки наугад вынимают два шара. Случайная величина X — число белых шаров среди вынутых. Найдите математическое ожидание случайной величины X.
Разбор решения
Два шара из 10 можно выбрать \dfrac{10\cdot 9}{2} = 45 способами. Посчитаем, сколько способов дают 0, 1 и 2 шара нужного цвета.
| Значение X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Число способов | 21 | 21 | 3 |
| Вероятность | \dfrac{21}{45} | \dfrac{21}{45} | \dfrac{3}{45} |
E(X) = \dfrac{0\cdot 21 + 1\cdot 21 + 2\cdot 3}{45} = \dfrac{27}{45} = 0{,}6.
Неизвестная вероятность или неизвестное значение
Если одна вероятность в таблице стёрта и вместо неё стоит буква p, помогает правило: все вероятности вместе дают 1. Из единицы вычитаем известные вероятности и получаем p.
Разбор по шагам. Одна вероятность в таблице неизвестна. Найдите математическое ожидание.
- Неизвестна вероятность второго значения. Остальные вместе дают 0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}6.
- Значит, p = 1 - 0{,}6 = 0{,}4. Теперь таблица полная.
- Произведения значений на вероятности: -0{,}2, 0{,}4, 0{,}9, 0{,}8.
- Складываем: -0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}9 + 0{,}8 = 1{,}9.
Ответ: 1,9.
Бывает и наоборот: матожидание известно, а одно из значений стёрто.
| X | 2 | 5 | a |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Известно, что E(X) = 4. Записываем матожидание как обычно и решаем уравнение: 0{,}6 + 2{,}5 + 0{,}2a = 4, отсюда 0{,}2a = 0{,}9 и a = 4{,}5.
Попробуйте сами. X принимает значения 0, 2, 5, 10 с вероятностями 0{,}4, 0{,}3, p, 0{,}1. Найдите E(X).
Решение
p = 1 - 0{,}4 - 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}2. Матожидание: 0 + 0{,}6 + 1 + 1 = 2{,}6.
В таблице показано распределение случайной величины X. Одна из вероятностей неизвестна и обозначена буквой p.
| Значение X | −1 | 0 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность | p | 0,15 | 0,35 | 0,35 | 0,05 |
Найдите математическое ожидание случайной величины X.
Разбор решения
Сумма всех вероятностей в таблице распределения равна 1, поэтому
p = 1 - (0{,}15 + 0{,}35 + 0{,}35 + 0{,}05) = 0{,}1.
Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.
E(X) = (-1)\cdot 0{,}1 + 0\cdot 0{,}15 + 3\cdot 0{,}35 + 4\cdot 0{,}35 + 6\cdot 0{,}05 = 2{,}65.
В таблице показано распределение случайной величины X. Одна из вероятностей неизвестна и обозначена буквой p.
| Значение X | −2 | −1 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,1 | p | 0,2 | 0,5 | 0,1 |
Найдите математическое ожидание случайной величины X.
Разбор решения
Сумма всех вероятностей в таблице распределения равна 1, поэтому
p = 1 - (0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}1) = 0{,}1.
Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.
E(X) = (-2)\cdot 0{,}1 + (-1)\cdot 0{,}1 + 1\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}5 + 3\cdot 0{,}1 = 1{,}2.
В таблице показано распределение случайной величины X. Одно из её значений неизвестно и обозначено буквой a.
| Значение X | 0 | 1 | a | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,3 |
Известно, что математическое ожидание случайной величины X равно 4,4. Найдите a.
Разбор решения
Запишем математическое ожидание через таблицу и приравняем к данному числу:
0\cdot 0{,}2 + 1\cdot 0{,}2 + a\cdot 0{,}3 + 8\cdot 0{,}3 = 4{,}4.
Сумма известных слагаемых равна 2{,}6, поэтому 0{,}3\,a = 4{,}4 - 2{,}6 = 1{,}8, откуда a = 6.
Лотереи, игры и страховка
Это та самая задача из демоверсии ЕГЭ 2027. Случайная величина здесь равна выигрышу на один билет. Вероятности не даны, но их легко найти: число билетов с этим выигрышем делим на число всех билетов. Билеты без выигрыша дают 0 рублей и в сумму ничего не добавляют, поэтому их можно не считать.
Разбор задачи из демоверсии. Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены так, как в таблице. Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
- Вероятность выиграть 100 рублей: 500 : 10\,000 = 0{,}05.
- Так же для остальных: 0{,}01, 0{,}005, 0{,}001 и 0{,}0001.
- Каждый выигрыш умножаем на его вероятность: получается 5, 10, 25, 10 и 5 рублей.
- Складываем: 5 + 10 + 25 + 10 + 5 = 55 рублей. Можно и быстрее: сложить все выигрыши (550\,000 рублей) и разделить на 10 000 билетов.
Ответ: 55.
Что значат эти 55 рублей? Если купить очень много билетов, в среднем каждый принесёт 55 рублей. Обычно билет стоит дороже. Например, если он стоит 100 рублей, то цена больше матожидания выигрыша на 100 - 55 = 45 рублей. Столько организатор в среднем зарабатывает на каждом билете, и такой вопрос тоже встречается в задачах.
Игры: выигрыш с учётом платы
Игрок платит 30 рублей и бросает кубик. За шестёрку он получает 120 рублей, за пятёрку 30 рублей, за остальное ничего. Сколько он выигрывает в среднем?
Сначала средний приз: 120 \cdot \frac{1}{6} + 30 \cdot \frac{1}{6} = 20 + 5 = 25 рублей. Платит игрок всегда 30. Значит, в среднем он получает 25 - 30 = -5, то есть теряет 5 рублей за игру. Минус в ответе нормален, так и пишем: −5.
Игру называют честной, если в среднем никто не выигрывает, то есть матожидание выигрыша равно нулю. Подвигайте размер приза и найдите, когда игра становится честной.
Бизнес: гарантия, страховка, прокат
Те же задачи бывают со стороны компании. Магазин продаёт гарантию на телефон за 900 рублей. С вероятностью 0,05 телефон сломается, и ремонт обойдётся магазину в 12 000 рублей. Деньги за гарантию магазин получает всегда, а платит за ремонт редко. Средняя прибыль с одной гарантии: 900 - 0{,}05 \cdot 12\,000 = 900 - 600 = 300 рублей.
Попробуйте сами. В лотерее 2000 билетов. 200 билетов выигрывают по 100 рублей, 20 билетов по 1000 рублей, один билет 10 000 рублей, остальные без выигрыша. Найдите математическое ожидание выигрыша на один билет.
Решение
Все выигрыши вместе: 20\,000 + 20\,000 + 10\,000 = 50\,000 рублей. На один билет: 50\,000 : 2000 = 25 рублей.
Попробуйте сами. Страховая компания продаёт полис за 2500 рублей. С вероятностью 0,02 случается страховой случай, и компания платит 80 000 рублей. Найдите математическое ожидание прибыли компании с одного полиса.
Решение
Средняя выплата: 0{,}02 \cdot 80\,000 = 1600 рублей. Прибыль: 2500 - 1600 = 900 рублей.
Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.
| Выигрыш (в рублях) | 100 | 1000 | 5000 | 10 000 | 50 000 |
| Число выигрышных билетов | 500 | 100 | 50 | 10 | 1 |
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Разбор решения
Обозначим через X случайную величину «выигрыш на один билет».
Всего выпущено 10\,000 билетов. Вероятность получить каждый из выигрышей равна отношению числа соответствующих выигрышных билетов к общему числу билетов.
Билеты без выигрыша имеют выигрыш 0, поэтому их вклад в математическое ожидание равен нулю.
Тогда по формуле математического ожидания: \begin{gathered} M(X) = 100\cdot\frac{500}{10000} + 1000\cdot\frac{100}{10000} + 5000\cdot\frac{50}{10000} + 10000\cdot\frac{10}{10000} + 50000\cdot\frac{1}{10000} = \\[1ex] = \frac{100 \cdot 500 + 1000\cdot100 + 5000\cdot50 + 10000\cdot10 + 50000\cdot1}{10000} = \\[1ex] = \frac{50000+100000+250000+100000+50000}{10000} = \frac{550000}{10000} = 55. \end{gathered}
Всего в тираже лотереи 4000 билетов. Сведения о выигрышах показаны в таблице. Билеты, которых нет в таблице, выигрыша не приносят.
| Выигрыш, руб. | 50 | 250 | 1000 | 8000 |
|---|---|---|---|---|
| Число билетов | 600 | 80 | 20 | 2 |
Найдите математическое ожидание выигрыша на один случайно купленный билет. Ответ дайте в рублях.
Разбор решения
Вероятность каждого выигрыша равна числу билетов с таким выигрышем, делённому на число всех билетов. Билеты без выигрыша дают слагаемое 0.
\begin{gathered} E(X) = 50\cdot\dfrac{600}{4000} + 250\cdot\dfrac{80}{4000} + 1000\cdot\dfrac{20}{4000} + 8000\cdot\dfrac{2}{4000} = \\[1ex] = \dfrac{50\cdot 600 + 250\cdot 80 + 1000\cdot 20 + 8000\cdot 2}{4000} = \dfrac{86\,000}{4000} = 21{,}5. \end{gathered}
Значит, в среднем на один билет приходится 21,5 руб. выигрыша.
Игрок один раз бросает игральный кубик. Если выпадает 6 очков, игрок получает 60 рублей, если 4 или 5 очков — 15 рублей, в остальных случаях ничего не получает.
Найдите математическое ожидание выигрыша игрока за одну игру. Ответ дайте в рублях.
Разбор решения
У кубика шесть равновозможных граней, поэтому вероятность события равна числу подходящих граней, делённому на 6.
E(X) = 60\cdot\dfrac{1}{6} + 15\cdot\dfrac{2}{6} = \dfrac{90}{6} = 15.
Страховая компания продаёт полис за 3000 рублей. Страховой случай наступает с вероятностью 0,01, и тогда компания выплачивает клиенту 200 000 рублей; в остальных случаях выплат нет.
Найдите математическое ожидание прибыли компании от одного полиса. Ответ дайте в рублях.
Разбор решения
Прибыль равна 3000 рублей с вероятностью 0,99 и −197 000 рублей с вероятностью 0,01.
E(X) = 3000\cdot 0{,}99 + (-197\,000)\cdot 0{,}01 = 2970 - 1970 = 1000.
Свойства матожидания: умножить, прибавить, сложить
Если все выигрыши удвоить, средний выигрыш тоже удвоится. Если к каждому добавить 3 рубля, средний вырастет на 3 рубля. Средняя сумма двух величин равна сумме их средних. Это и есть свойства матожидания. Подвигайте ползунки:
E(X) = 3, E(Y) = -2. Найдите E(2X - 3Y + 1). Подставляем средние: 2 \cdot 3 - 3 \cdot (-2) + 1 = 6 + 6 + 1 = 13.
Попробуйте сами. Математическое ожидание величины X равно 2,5. Найдите математическое ожидание величины 4X - 3.
Решение
4 \cdot 2{,}5 - 3 = 7.
Математическое ожидание случайной величины X равно 4. Найдите математическое ожидание случайной величины 3X - 2.
Разбор решения
Числовой множитель выносится за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а прибавленное число просто прибавляется:
E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 3\cdot 4 - 2 = 10.
Математические ожидания случайных величин X и Y равны 3 и −1,5 соответственно. Найдите математическое ожидание случайной величины 2X + 4Y.
Разбор решения
Числовой множитель выносится за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а прибавленное число просто прибавляется:
E(2X + 4Y) = 2E(X) + 4E(Y) = 2\cdot 3 + 4\cdot (-1{,}5) = 0.
Математические ожидания случайных величин X и Y равны −2 и 7 соответственно. Найдите математическое ожидание случайной величины 3X + Y - 4.
Разбор решения
Числовой множитель выносится за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а прибавленное число просто прибавляется:
E(3X + Y - 4) = 3E(X) + E(Y) - 4 = 3\cdot (-2) + 1\cdot 7 - 4 = -3.
Разброс: отклонение, дисперсия и стандартное отклонение
Матожидание говорит, сколько получится в среднем, но этого мало. Представьте, что вы в среднем зарабатываете 10 тысяч рублей в день. Можно каждый день получать от 9 до 11 тысяч, а можно то 2 тысячи, то 18. Среднее одинаковое, но со вторым доходом жить гораздо тревожнее. Насколько результат скачет, показывают отклонения.
Что такое отклонение
Отклонение показывает, насколько результат отличается от среднего. В среднем вы зарабатываете 10 тысяч, а сегодня заработали 8, отклонение равно -2 тысячи. Завтра заработали 12, отклонение +2.
Хочется просто сложить отклонения и узнать, насколько всё скачет. Посмотрите, что получится:
Отклонения в сумме всегда дают ноль. Плюсы и минусы съедают друг друга, и разброс прячется. Поэтому отклонения возводят в квадрат: квадрат любого числа положительный, и ничего не сокращается. Потом берут среднее этих квадратов. Его называют дисперсией, от латинского dispersio, «рассеяние».
Дисперсия D(X) равна среднему значению квадрата отклонения от матожидания. Чем она больше, тем сильнее разброс.
Дисперсия измеряется в «квадратных рублях», а это неудобно. Поэтому из неё извлекают корень. Получается стандартное отклонение, его ещё называют среднеквадратичным отклонением и обозначают \sigma (греческая буква «сигма»): \sigma = \sqrt{D(X)}. Оно измеряется в обычных рублях и показывает, насколько в среднем результат отходит от среднего.
Вот два стрелка. В среднем оба выбивают 9 очков, но у второго разброс заметно больше:
Как считать дисперсию на экзамене
Считать каждое отклонение долго. Есть короткий путь: среднее квадратов минус квадрат среднего.
Почему это та же самая дисперсия
Обозначим среднее буквой m. Квадрат отклонения равен (X - m)^2 = X^2 - 2mX + m^2. Возьмём среднее от каждой части. Среднее от X^2 равно E(X^2), среднее от 2mX равно 2m \cdot m, а m^2 просто число. Получается E(X^2) - 2m^2 + m^2 = E(X^2) - m^2.
Разбор по шагам. Случайная величина X задана таблицей. Найдите её дисперсию.
- Сначала обычное матожидание: 0 + 0{,}6 + 0{,}8 = 1{,}4.
- Теперь каждое значение возводим в квадрат и умножаем на вероятность: 0^2 \cdot 0{,}5 = 0, 2^2 \cdot 0{,}3 = 1{,}2, 4^2 \cdot 0{,}2 = 3{,}2.
- Складываем: E(X^2) = 4{,}4.
- Дисперсия: 4{,}4 - 1{,}4^2 = 4{,}4 - 1{,}96 = 2{,}44. Квадрат среднего здесь равен 1{,}4^2, его легко перепутать с 4{,}4^2.
Ответ: 2,44.
Если D(X) = 4, то D(3X + 1) = 9 \cdot 4 = 36. Если D(X) = 9, то \sigma(X) = 3, а \sigma(-2X + 7) = 2 \cdot 3 = 6.
Попробуйте сами. X принимает значения -1, 1, 3 с вероятностями 0{,}25, 0{,}5, 0{,}25. Найдите дисперсию.
Решение
Матожидание: -0{,}25 + 0{,}5 + 0{,}75 = 1. Среднее квадратов: 1 \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}5 + 9 \cdot 0{,}25 = 3. Дисперсия: 3 - 1^2 = 2.
Попробуйте сами. Дисперсия случайной величины X равна 9. Найдите стандартное отклонение величины -2X + 7.
Решение
\sigma(X) = \sqrt{9} = 3. Множитель -2 увеличивает разброс в 2 раза, прибавленные 7 его не меняют: 2 \cdot 3 = 6.
Известно, что E(X) = 3 и E(X^2) = 13. Найдите дисперсию случайной величины X.
Разбор решения
Дисперсия равна разности математического ожидания квадрата и квадрата математического ожидания:
D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = 13 - 3^2 = 13 - 9 = 4.
В таблице показано распределение случайной величины X.
| Значение X | 0 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,1 | 0,2 | 0,7 |
Математическое ожидание этой случайной величины равно 8. Найдите её дисперсию.
Разбор решения
Дисперсия — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
D(X) = (0 - 8)^2\cdot 0{,}1 + (5 - 8)^2\cdot 0{,}2 + (10 - 8)^2\cdot 0{,}7 = 64\cdot 0{,}1 + 9\cdot 0{,}2 + 4\cdot 0{,}7 = 11.
Случайная величина X распределена по закону, показанному в таблице.
| Значение X | −2 | 2 | 6 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,8 | 0,1 | 0,1 |
Найдите дисперсию случайной величины X.
Разбор решения
Дисперсию удобно считать по формуле D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.
E(X) = (-2)\cdot 0{,}8 + 2\cdot 0{,}1 + 6\cdot 0{,}1 = -0{,}8.
E(X^2) = (-2)^2\cdot 0{,}8 + 2^2\cdot 0{,}1 + 6^2\cdot 0{,}1 = 7{,}2.
D(X) = 7{,}2 - (-0{,}8)^2 = 7{,}2 - 0{,}64 = 6{,}56.
В таблице показано распределение случайной величины X.
| Значение X | −3 | 0 | 5 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,4 | 0,2 | 0,4 |
Найдите стандартное отклонение случайной величины X.
Разбор решения
Дисперсию удобно считать по формуле D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.
E(X) = (-3)\cdot 0{,}4 + 0\cdot 0{,}2 + 5\cdot 0{,}4 = 0{,}8.
E(X^2) = (-3)^2\cdot 0{,}4 + 0^2\cdot 0{,}2 + 5^2\cdot 0{,}4 = 13{,}6.
D(X) = 13{,}6 - 0{,}8^2 = 13{,}6 - 0{,}64 = 12{,}96.
Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии: \sigma = \sqrt{12{,}96} = 3{,}6.
В таблице показано распределение случайной величины X.
| Значение X | −6 | 4 |
|---|---|---|
| Вероятность | 0,8 | 0,2 |
Найдите стандартное отклонение случайной величины X.
Разбор решения
Дисперсию удобно считать по формуле D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.
E(X) = (-6)\cdot 0{,}8 + 4\cdot 0{,}2 = -4.
E(X^2) = (-6)^2\cdot 0{,}8 + 4^2\cdot 0{,}2 = 32.
D(X) = 32 - (-4)^2 = 32 - 16 = 16.
Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии: \sigma = \sqrt{16} = 4.
Равномерное распределение: вероятность как доля длины
Автобус приходит в любой момент в течение 15 минут, и ни один момент не лучше другого. Тогда время ожидания равномерно распределено на отрезке от 0 до 15. Возможных значений бесконечно много, поэтому таблицы нет. Вероятность считают через длину: какую часть всего отрезка занимает нужный кусок.
С какой вероятностью придётся ждать от 3 до 9 минут? Нужный кусок длиной 6 минут, весь отрезок длиной 15. Вероятность 6 : 15 = 0{,}4.
Вероятность попасть в кусок равна его длине, делённой на длину всего отрезка b - a. Матожидание равно середине отрезка, \frac{a + b}{2}. Высота «прямоугольника», её называют плотностью, равна \frac{1}{b - a}, чтобы площадь прямоугольника была равна 1. Если кусок выходит за отрезок, лишнее отбрасывают. Вероятность попасть ровно в одну точку равна 0.
Попробуйте сами. Величина X равномерно распределена на отрезке от 2 до 12. Найдите вероятность того, что X больше 9,5.
Решение
Нужный кусок от 9,5 до 12, его длина 2,5. Весь отрезок длиной 10. Вероятность 2{,}5 : 10 = 0{,}25. Матожидание здесь равно середине отрезка, 7.
Автобус приходит на остановку в случайный момент в течение 20 минут после прихода пассажира, и все моменты равновозможны: время ожидания равномерно распределено на отрезке [0;\,20].
Найдите вероятность того, что ждать придётся от 5 до 9 минут.
Разбор решения
У равномерного распределения вероятность попасть в промежуток равна длине этого промежутка, делённой на длину всего отрезка.
Длина всего отрезка 20 - 0 = 20, длина нужного промежутка 9 - 5 = 4.
P = \dfrac{4}{20} = 0{,}2.
Масса яблока из корзины (в граммах) равномерно распределена на отрезке [120;\,200].
Найдите вероятность того, что масса случайно выбранного яблока окажется от 150 до 164 г.
Разбор решения
У равномерного распределения вероятность попасть в промежуток равна длине этого промежутка, делённой на длину всего отрезка.
Длина всего отрезка 200 - 120 = 80, длина нужного промежутка 164 - 150 = 14.
P = \dfrac{14}{80} = 0{,}175.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;\,4]: на этом отрезке её плотность постоянна и равна c, а вне отрезка равна нулю. Найдите c.
Разбор решения
Площадь под графиком плотности всегда равна 1. Здесь это прямоугольник с основанием 4 - 0 = 4 и высотой c.
4\cdot c = 1, \qquad c = \dfrac{1}{4} = 0{,}25.
Нормальное распределение: всё решает симметрия
Рост людей, масса пачки печенья, баллы за тест чаще всего близки к среднему, а сильно большие и сильно маленькие значения встречаются редко. График похож на колокол. Такое распределение называют нормальным, а его график кривой Гаусса. Формула колокола на ЕГЭ не нужна. Нужно знать одно: колокол симметричен относительно среднего.
Больше среднего оказывается ровно половина значений, вероятность 0{,}5. Меньше среднего тоже 0{,}5. Точки на одинаковом расстоянии от среднего слева и справа отсекают одинаковые хвосты. Если внутри такого симметричного промежутка вероятность равна q, то на каждый хвост приходится \frac{1 - q}{2}.
Среднее время бега 50 минут, вероятность пробежать от 44 до 56 минут равна 0,6. Найдите вероятность того, что время больше 56 минут. Промежуток симметричный, по 6 минут в обе стороны. На два хвоста остаётся 1 - 0{,}6 = 0{,}4, на один 0{,}2.
Среднее равно 20, вероятность значения больше 24 равна 0,1. Найдите вероятность значения больше 16. Точка 16 стоит на таком же расстоянии от 20, что и 24. Значит, хвост «меньше 16» тоже равен 0,1, а вероятность «больше 16» равна 1 - 0{,}1 = 0{,}9.
Попробуйте сами. X распределена нормально со средним 12, вероятность того, что X больше 15, равна 0,15. Найдите вероятность того, что X больше 9.
Решение
9 и 15 стоят на расстоянии 3 от среднего, поэтому вероятность «меньше 9» тоже равна 0,15. Тогда вероятность «больше 9» равна 1 - 0{,}15 = 0{,}85.
Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием 12 и стандартным отклонением 3. Найдите вероятность того, что X больше 12.
Разбор решения
График плотности нормального распределения симметричен относительно математического ожидания, поэтому значения больше и меньше него одинаково вероятны.
Значит, вероятность оказаться больше математического ожидания равна половине, стандартное отклонение на неё не влияет.
P = 0{,}5.
Время, за которое участник пробегает дистанцию, распределено нормально с математическим ожиданием 50 мин.
Вероятность того, что время случайно выбранного участника окажется от 44 до 56 мин, равна 0,6. Найдите вероятность того, что время случайно выбранного участника окажется больше 56 мин.
Разбор решения
График плотности нормального распределения симметричен относительно математического ожидания, поэтому значения больше и меньше него одинаково вероятны.
Промежуток от 44 до 56 симметричен относительно 50. На всё, что вне его, приходится вероятность 1 - 0{,}6 = 0{,}4, и она делится поровну между значениями меньше 44 и больше 56.
P = \dfrac{0{,}4}{2} = 0{,}2.
Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием 0. Известно, что P(X < 2) = 0{,}975. Найдите P(-2 < X < 2).
Разбор решения
График плотности нормального распределения симметричен относительно математического ожидания, поэтому значения больше и меньше него одинаково вероятны.
Вероятность оказаться правее 2 равна 1 - 0{,}975 = 0{,}025. По симметрии такая же вероятность оказаться левее -2.
P(-2 < X < 2) = 1 - 2\cdot 0{,}025 = 0{,}95.
Практика: все виды задач с решениями
Здесь только задачи, все виды задания 6 по порядку. Решайте, вписывайте ответ и нажимайте «Проверить». Если не получается, откройте «Разбор решения» под задачей, там решение расписано по шагам. Кнопка «Другая задача ↻» покажет ещё одну задачу того же вида. Перед каждым видом коротко написано, как его решать.
1. Таблица дана, найти матожидание
Как решать: каждое значение умножить на его вероятность и всё сложить.
В таблице показано распределение случайной величины X.
| Значение X | −2 | 0 | 2 | 4 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,1 | 0,3 | 0,05 | 0,25 | 0,3 |
Найдите E(X) — математическое ожидание этой случайной величины.
Разбор решения
Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.
\begin{gathered} E(X) = (-2)\cdot 0{,}1 + 0\cdot 0{,}3 + 2\cdot 0{,}05 + 4\cdot 0{,}25 + 10\cdot 0{,}3 = \\[1ex] = -0{,}2 + 0 + 0{,}1 + 1 + 3 = 3{,}9. \end{gathered}
В небольшой мастерской за час бывает от 0 до 4 посетителей. Распределение числа посетителей за час показано в таблице.
| Число посетителей | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,15 | 0,2 | 0,2 | 0,15 | 0,3 |
Найдите математическое ожидание числа посетителей за час.
Разбор решения
Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.
\begin{gathered} E(X) = 0\cdot 0{,}15 + 1\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}2 + 3\cdot 0{,}15 + 4\cdot 0{,}3 = \\[1ex] = 0 + 0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}45 + 1{,}2 = 2{,}25. \end{gathered}
Автобус приходит на остановку с опозданием от 0 до 4 минут. Распределение времени опоздания показано в таблице.
| Опоздание, мин | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,4 |
Найдите математическое ожидание времени опоздания. Ответ дайте в минутах.
Разбор решения
Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.
\begin{gathered} E(X) = 0\cdot 0{,}1 + 1\cdot 0{,}3 + 2\cdot 0{,}1 + 3\cdot 0{,}1 + 4\cdot 0{,}4 = \\[1ex] = 0 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}3 + 1{,}6 = 2{,}4. \end{gathered}
2. Кубик, монеты, шары: таблицу составить самому
Как решать: выписать возможные значения, для каждого найти вероятность (подходящие исходы делим на все), потом посчитать матожидание. У кубика можно просто сложить числа на гранях и разделить на 6.
Симметричную монету бросают три раза. Случайная величина X — число выпавших решек. Найдите математическое ожидание случайной величины X.
Разбор решения
Всего равновозможных исходов 2^{3} = 8. Посчитаем, в скольких из них выпало 0, 1, … , 3 решек, и составим таблицу распределения.
| Значение X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Вероятность | \dfrac{1}{8} | \dfrac{3}{8} | \dfrac{3}{8} | \dfrac{1}{8} |
E(X) = \dfrac{0\cdot 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3 + 3\cdot 1}{8} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5.
В коробке 8 шаров: три зелёных и пять жёлтых. Из коробки наугад вынимают два шара. Случайная величина X — число зелёных шаров среди вынутых. Найдите математическое ожидание случайной величины X.
Разбор решения
Два шара из 8 можно выбрать \dfrac{8\cdot 7}{2} = 28 способами. Посчитаем, сколько способов дают 0, 1 и 2 шара нужного цвета.
| Значение X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Число способов | 10 | 15 | 3 |
| Вероятность | \dfrac{10}{28} | \dfrac{15}{28} | \dfrac{3}{28} |
E(X) = \dfrac{0\cdot 10 + 1\cdot 15 + 2\cdot 3}{28} = \dfrac{21}{28} = 0{,}75.
На гранях игрального кубика вместо точек написаны числа 2, 2, 2, 4, 4, 10. Кубик бросают один раз. Найдите математическое ожидание выпавшего числа.
Разбор решения
Каждая грань выпадает с вероятностью \dfrac{1}{6}, поэтому математическое ожидание равно среднему арифметическому чисел на гранях.
E(X) = \dfrac{2 + 2 + 2 + 4 + 4 + 10}{6} = \dfrac{24}{6} = 4.
Бросают два игральных кубика. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.
Разбор решения
Математическое ожидание числа очков на одном кубике равно \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3{,}5.
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий: 3{,}5 + 3{,}5 = 7.
3. Стёрта вероятность или значение
Как решать: неизвестная вероятность равна 1 минус все остальные. Если неизвестно значение, запишите матожидание как обычно и решите уравнение.
В таблице показано распределение случайной величины X. Одна из вероятностей неизвестна и обозначена буквой p.
| Значение X | −2 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Вероятность | p | 0,45 | 0,2 | 0,2 |
Найдите математическое ожидание случайной величины X.
Разбор решения
Сумма всех вероятностей в таблице распределения равна 1, поэтому
p = 1 - (0{,}45 + 0{,}2 + 0{,}2) = 0{,}15.
Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.
E(X) = (-2)\cdot 0{,}15 + 2\cdot 0{,}45 + 5\cdot 0{,}2 + 10\cdot 0{,}2 = 3{,}6.
В таблице показано распределение случайной величины X. Одна из вероятностей неизвестна и обозначена буквой p.
| Значение X | 0 | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,4 | p |
Найдите математическое ожидание случайной величины X.
Разбор решения
Сумма всех вероятностей в таблице распределения равна 1, поэтому
p = 1 - (0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}4) = 0{,}2.
Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.
E(X) = 0\cdot 0{,}1 + 2\cdot 0{,}2 + 4\cdot 0{,}1 + 6\cdot 0{,}4 + 10\cdot 0{,}2 = 5{,}2.
В таблице показано распределение случайной величины X. Одно из её значений неизвестно и обозначено буквой a.
| Значение X | −1 | 2 | 3 | a |
|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,2 |
Известно, что математическое ожидание случайной величины X равно 2. Найдите a.
Разбор решения
Запишем математическое ожидание через таблицу и приравняем к данному числу:
(-1)\cdot 0{,}3 + 2\cdot 0{,}4 + 3\cdot 0{,}1 + a\cdot 0{,}2 = 2.
Сумма известных слагаемых равна 0{,}8, поэтому 0{,}2\,a = 2 - 0{,}8 = 1{,}2, откуда a = 6.
4. Лотереи, игры, бизнес
Как решать: вероятность выигрыша равна числу таких билетов, делённому на все билеты. В играх с платой из среднего приза вычитают плату. Игра честная, когда в среднем выигрыш равен 0. В бизнесе из дохода, который есть всегда, вычитают расход, умноженный на его вероятность.
На школьной ярмарке разыгрывают призы: продано 5000 лотерейных билетов. В таблице показано, сколько билетов выигрывают каждую сумму, остальные билеты не выигрывают ничего.
| Выигрыш, руб. | 100 | 500 | 2000 | 10 000 | 50 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| Число билетов | 400 | 100 | 25 | 5 | 1 |
Найдите математическое ожидание выигрыша на один случайно купленный билет. Ответ дайте в рублях.
Разбор решения
Вероятность каждого выигрыша равна числу билетов с таким выигрышем, делённому на число всех билетов. Билеты без выигрыша дают слагаемое 0.
\begin{gathered} E(X) = 100\cdot\dfrac{400}{5000} + 500\cdot\dfrac{100}{5000} + 2000\cdot\dfrac{25}{5000} + 10\,000\cdot\dfrac{5}{5000} + 50\,000\cdot\dfrac{1}{5000} = \\[1ex] = \dfrac{100\cdot 400 + 500\cdot 100 + 2000\cdot 25 + 10\,000\cdot 5 + 50\,000\cdot 1}{5000} = \dfrac{240\,000}{5000} = 48. \end{gathered}
Значит, в среднем на один билет приходится 48 руб. выигрыша.
В беспроигрышной лотерее 500 билетов, каждый билет стоит 200 рублей. В таблице показано, сколько билетов приносят каждый из выигрышей.
| Выигрыш, руб. | 50 | 100 | 500 | 5000 |
|---|---|---|---|---|
| Число билетов | 300 | 150 | 45 | 5 |
Покупатель берёт один случайный билет. На сколько рублей цена билета больше математического ожидания выигрыша?
Разбор решения
Найдём математическое ожидание выигрыша: сложим все выигрыши и разделим на число билетов.
E(X) = \dfrac{50\cdot 300 + 100\cdot 150 + 500\cdot 45 + 5000\cdot 5}{500} = \dfrac{77\,500}{500} = 155.
Цена билета больше на 200 - 155 = 45 рублей.
Игрок один раз бросает игральный кубик. Если выпадает 1 или 2 очка, игрок получает 9 рублей, если 3 или 4 очка — 18 рублей, если 5 или 6 очков — 30 рублей.
Найдите математическое ожидание выигрыша игрока за одну игру. Ответ дайте в рублях.
Разбор решения
У кубика шесть равновозможных граней, поэтому вероятность события равна числу подходящих граней, делённому на 6.
E(X) = 9\cdot\dfrac{2}{6} + 18\cdot\dfrac{2}{6} + 30\cdot\dfrac{2}{6} = \dfrac{114}{6} = 19.
Игрок один раз бросает игральный кубик. Если выпадает нечётное число очков, игрок платит 10 рублей, если чётное — получает 25 рублей.
Найдите математическое ожидание выигрыша (проигрыш считайте отрицательным выигрышем) игрока за одну игру. Ответ дайте в рублях.
Разбор решения
У кубика шесть равновозможных граней, поэтому вероятность события равна числу подходящих граней, делённому на 6.
E(X) = (-10)\cdot\dfrac{3}{6} + 25\cdot\dfrac{3}{6} = \dfrac{45}{6} = 7{,}5.
Игрок платит 50 рублей и один раз бросает игральный кубик. Если выпадет 6 очков, он получает приз S рублей, иначе не получает ничего. При каком значении S математическое ожидание выигрыша игрока (с учётом платы за игру) равно нулю?
Разбор решения
Приз достаётся с вероятностью \dfrac{1}{6}, поэтому в среднем игрок получает \dfrac{1}{6}\,S рублей за игру, а платит 50 рублей.
\dfrac{1}{6}\,S - 50 = 0, \qquad S = \dfrac{50\cdot 6}{1} = 300.
Организатор экскурсии получает с каждого туриста 2000 рублей. С вероятностью 0,1 из-за плохой погоды экскурсию отменяют, и тогда организатор возвращает деньги и дополнительно платит туристу 500 рублей.
Найдите математическое ожидание дохода организатора с одного туриста. Ответ дайте в рублях.
Разбор решения
Доход организатора равен 2000 рублей с вероятностью 0,9 и −500 рублей с вероятностью 0,1.
E(X) = 2000\cdot 0{,}9 + (-500)\cdot 0{,}1 = 1800 - 50 = 1750.
5. Свойства матожидания
Как решать: подставить средние, E(aX + b) = a\,E(X) + b и E(X + Y) = E(X) + E(Y).
Математическое ожидание случайной величины X равно 2,5. Найдите математическое ожидание случайной величины 4X + 1.
Разбор решения
Числовой множитель выносится за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а прибавленное число просто прибавляется:
E(4X + 1) = 4E(X) + 1 = 4\cdot 2{,}5 + 1 = 11.
Математические ожидания случайных величин X и Y равны 1,2 и 2,5 соответственно. Найдите математическое ожидание случайной величины 5X - 2Y + 3.
Разбор решения
Числовой множитель выносится за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а прибавленное число просто прибавляется:
E(5X - 2Y + 3) = 5E(X) - 2E(Y) + 3 = 5\cdot 1{,}2 - 2\cdot 2{,}5 + 3 = 4.
Математические ожидания случайных величин X и Y равны 3,5 и 0,5 соответственно. Найдите математическое ожидание случайной величины 2X - 6Y + 1.
Разбор решения
Числовой множитель выносится за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а прибавленное число просто прибавляется:
E(2X - 6Y + 1) = 2E(X) - 6E(Y) + 1 = 2\cdot 3{,}5 - 6\cdot 0{,}5 + 1 = 5.
6. Дисперсия
Как решать: из среднего квадратов вычесть квадрат среднего, D = E(X^2) - (E(X))^2. Если величину умножили на a, дисперсия умножается на a^2, а прибавленное число её не меняет.
В таблице показано распределение случайной величины X.
| Значение X | −2 | 2 | 6 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Найдите D(X) — дисперсию этой случайной величины.
Разбор решения
Дисперсию удобно считать по формуле D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.
E(X) = (-2)\cdot 0{,}1 + 2\cdot 0{,}6 + 6\cdot 0{,}3 = 2{,}8.
E(X^2) = (-2)^2\cdot 0{,}1 + 2^2\cdot 0{,}6 + 6^2\cdot 0{,}3 = 13{,}6.
D(X) = 13{,}6 - 2{,}8^2 = 13{,}6 - 7{,}84 = 5{,}76.
Известно, что E(X) = 2{,}5 и E(X^2) = 8. Найдите дисперсию случайной величины X.
Разбор решения
Дисперсия равна разности математического ожидания квадрата и квадрата математического ожидания:
D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = 8 - 2{,}5^2 = 8 - 6{,}25 = 1{,}75.
Дисперсия случайной величины X равна 2,5. Найдите дисперсию случайной величины -2X + 7.
Разбор решения
Прибавление числа дисперсию не меняет, а числовой множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате:
D(-2X + 7) = (-2)^2\cdot D(X) = 4\cdot 2{,}5 = 10.
В игре участник с вероятностью 0,3 получает 10 очков, иначе не получает ничего. Случайная величина X — число очков, полученных за одну игру.
Найдите дисперсию случайной величины X.
Разбор решения
Составим таблицу распределения.
| Значение X | 0 | 10 |
|---|---|---|
| Вероятность | 0,7 | 0,3 |
Дисперсию удобно считать по формуле D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.
E(X) = 0\cdot 0{,}7 + 10\cdot 0{,}3 = 3.
E(X^2) = 0^2\cdot 0{,}7 + 10^2\cdot 0{,}3 = 30.
D(X) = 30 - 3^2 = 30 - 9 = 21.
Два станка фасуют крупу. Отклонение массы пакета от нормы (в граммах) — случайная величина; распределения для двух станков показаны в таблицах.
Первый станок
| Отклонение, г | −2 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,25 | 0,5 | 0,25 |
Второй станок
| Отклонение, г | −4 | 0 | 4 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
Точнее работает тот станок, у которого дисперсия отклонения меньше. Найдите дисперсию отклонения для этого станка.
Разбор решения
Математическое ожидание в обоих случаях равно 0. Дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения от него.
Первый станок: D = (-2 - 0)^2\cdot 0{,}25 + (0 - 0)^2\cdot 0{,}5 + (2 - 0)^2\cdot 0{,}25 = 2.
Второй станок: D = (-4 - 0)^2\cdot 0{,}1 + (0 - 0)^2\cdot 0{,}8 + (4 - 0)^2\cdot 0{,}1 = 3{,}2.
Меньшая дисперсия равна 2 — это первый станок.
Математическое ожидание случайной величины X равно 3, а её дисперсия равна 2. Найдите математическое ожидание случайной величины X^2.
Разбор решения
Из формулы D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 выразим нужную величину:
E(X^2) = D(X) + \big(E(X)\big)^2 = 2 + 3^2 = 2 + 9 = 11.
7. Стандартное (среднеквадратичное) отклонение
Как решать: найти дисперсию и извлечь корень, \sigma = \sqrt{D}. Если величину умножили на a, отклонение умножается на |a|.
В таблице показано распределение случайной величины X.
| Значение X | −1 | 5 |
|---|---|---|
| Вероятность | 0,2 | 0,8 |
Найдите стандартное отклонение случайной величины X.
Разбор решения
Дисперсию удобно считать по формуле D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.
E(X) = (-1)\cdot 0{,}2 + 5\cdot 0{,}8 = 3{,}8.
E(X^2) = (-1)^2\cdot 0{,}2 + 5^2\cdot 0{,}8 = 20{,}2.
D(X) = 20{,}2 - 3{,}8^2 = 20{,}2 - 14{,}44 = 5{,}76.
Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии: \sigma = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4.
В таблице показано распределение случайной величины X.
| Значение X | −6 | −1 | 0 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,2 |
Найдите стандартное отклонение случайной величины X.
Разбор решения
Дисперсию удобно считать по формуле D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.
E(X) = (-6)\cdot 0{,}2 + (-1)\cdot 0{,}2 + 0\cdot 0{,}4 + 4\cdot 0{,}2 = -0{,}6.
E(X^2) = (-6)^2\cdot 0{,}2 + (-1)^2\cdot 0{,}2 + 0^2\cdot 0{,}4 + 4^2\cdot 0{,}2 = 10{,}6.
D(X) = 10{,}6 - (-0{,}6)^2 = 10{,}6 - 0{,}36 = 10{,}24.
Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии: \sigma = \sqrt{10{,}24} = 3{,}2.
Дисперсия случайной величины X равна 25. Найдите стандартное отклонение случайной величины -3X + 2.
Разбор решения
Прибавление числа дисперсию не меняет, а числовой множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате:
D(-3X + 2) = (-3)^2\cdot D(X) = 9\cdot 25 = 225.
Стандартное отклонение — корень из дисперсии: \sigma = \sqrt{225} = 15.
8. Равномерное распределение
Как решать: длину нужного куска разделить на длину всего отрезка. Матожидание равно середине отрезка, плотность равна \frac{1}{b - a}.
Станок отрезает заготовки, длина которых (в миллиметрах) равномерно распределена на отрезке [98;\,102].
Найдите вероятность того, что длина случайно выбранной заготовки окажется от 99 до 100,5 мм.
Разбор решения
У равномерного распределения вероятность попасть в промежуток равна длине этого промежутка, делённой на длину всего отрезка.
Длина всего отрезка 102 - 98 = 4, длина нужного промежутка 100{,}5 - 99 = 1{,}5.
P = \dfrac{1{,}5}{4} = 0{,}375.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [-3;\,8].
Найдите её математическое ожидание.
Разбор решения
Все значения на отрезке равновозможны, поэтому среднее значение приходится на середину отрезка:
E(X) = \dfrac{-3 + 8}{2} = 2{,}5.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [2;\,10]: на этом отрезке её плотность постоянна и равна c, а вне отрезка равна нулю. Найдите c.
Разбор решения
Площадь под графиком плотности всегда равна 1. Здесь это прямоугольник с основанием 10 - 2 = 8 и высотой c.
8\cdot c = 1, \qquad c = \dfrac{1}{8} = 0{,}125.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;\,5]. Найдите значение её функции распределения F(x) = P(X \leqslant x) в точке x = 2.
Разбор решения
Функция распределения в точке x — это вероятность того, что случайная величина не больше x. Для равномерного распределения это доля отрезка левее точки:
F(2) = \dfrac{2 - 0}{5 - 0} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4.
9. Нормальное распределение
Как решать: нарисовать колокол и отметить среднее. Больше среднего вероятность 0,5, а точки на одинаковом расстоянии от среднего слева и справа отсекают равные хвосты.
Рост взрослых мужчин в городе распределён нормально с математическим ожиданием 176 см.
Вероятность того, что рост случайно выбранного мужчины окажется от 168 до 184 см, равна 0,7. Найдите вероятность того, что рост случайно выбранного мужчины окажется больше 184 см.
Разбор решения
График плотности нормального распределения симметричен относительно математического ожидания, поэтому значения больше и меньше него одинаково вероятны.
Промежуток от 168 до 184 симметричен относительно 176. На всё, что вне его, приходится вероятность 1 - 0{,}7 = 0{,}3, и она делится поровну между значениями меньше 168 и больше 184.
P = \dfrac{0{,}3}{2} = 0{,}15.
Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием −5 и стандартным отклонением 2. Найдите вероятность того, что X меньше −5.
Разбор решения
График плотности нормального распределения симметричен относительно математического ожидания, поэтому значения больше и меньше него одинаково вероятны.
Значит, вероятность оказаться меньше математического ожидания равна половине, стандартное отклонение на неё не влияет.
P = 0{,}5.
Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием 40. Известно, что P(X < 45) = 0{,}8. Найдите P(35 < X < 45).
Разбор решения
График плотности нормального распределения симметричен относительно математического ожидания, поэтому значения больше и меньше него одинаково вероятны.
Вероятность оказаться правее 45 равна 1 - 0{,}8 = 0{,}2. По симметрии такая же вероятность оказаться левее 35.
P(35 < X < 45) = 1 - 2\cdot 0{,}2 = 0{,}6.
Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием 500. Известно, что P(X > 530) = 0{,}04. Найдите P(X > 470).
Разбор решения
График плотности нормального распределения симметричен относительно математического ожидания, поэтому значения больше и меньше него одинаково вероятны.
Точки 470 и 530 стоят на одинаковом расстоянии от 500, поэтому P(X < 470) = P(X > 530) = 0{,}04.
P(X > 470) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96.
Вопросы с урока
Эти вопросы задавали ученики, когда мы разбирали задание 6 на уроке.
Что значит «в среднем», если такое значение вообще не выпадает?
Матожидание показывает среднее за много попыток. В одной попытке оно может не выпасть ни разу. У обычного кубика матожидание равно 3,5, такого числа на кубике нет, но за 100 бросков сумма очков будет около 350.
Зачем вообще нужно матожидание?
Чтобы понять, выгодно или нет. Если игра в среднем приносит 10 рублей, а участие стоит 15, то с каждой игры вы в среднем теряете 5. Так считают казино, страховые компании и магазины, когда продают гарантию.
Что такое отклонение?
Это разница между конкретным результатом и средним. В среднем вы зарабатываете 10 000 рублей, сегодня заработали 8 000, отклонение равно −2 000. По отклонениям видно, можно ли рассчитывать на результат или он скачет.
Почему отклонения нельзя просто сложить?
Плюсы и минусы съедают друг друга: сумма отклонений от среднего всегда равна нулю. Чтобы минусы не прятали разброс, отклонения возводят в квадрат и берут среднее. Это и есть дисперсия.
Чем дисперсия отличается от стандартного отклонения?
Стандартное отклонение равно корню из дисперсии. Дисперсия измеряется в квадратных единицах, а стандартное отклонение в обычных: рублях, минутах, очках. Поэтому его проще понять.
Откуда в формуле дисперсии квадрат значений?
В E(X^2) в квадрат возводят каждое значение до умножения на вероятность: для значения -2 берём (-2)^2 = 4. В (E(X))^2 в квадрат возводят уже готовое среднее. Это разные числа, и их разность равна дисперсии.
Шпаргалка по заданию 6
| Вид задачи | Что делать |
|---|---|
| Таблица дана | значение × вероятность, всё сложить |
| Кубик, монеты, шары | сначала составить таблицу |
| Стёрта вероятность | 1 минус остальные вероятности |
| Лотерея | вероятность = билеты : все билеты |
| Игра с платой | средний приз минус плата |
| E(aX + b) | a \cdot E(X) + b |
| Дисперсия | E(X^2) - (E(X))^2 |
| D(aX + b) | a^2 \cdot D(X) |
| Стандартное отклонение | \sqrt{D} |
| Равномерное | длина куска : длина отрезка |
| Нормальное | симметрия, больше среднего 0,5 |
Как записать ответ и частые ошибки
Перед тем как записать ответ, проверьте несколько вещей. Вероятности в таблице в сумме должны давать 1. Матожидание лежит между самым маленьким и самым большим значением. Дисперсия и стандартное отклонение не бывают отрицательными. Если спрашивают «с учётом платы», плату нужно вычесть из среднего приза. Ответ записывают десятичной дробью: 0,25, а не 1/4.
Самая частая ошибка: сложить значения без вероятностей. Среднее (2 + 3 + 4 + 5) : 4 = 3{,}5 получается неверным, если значения выпадают с разной вероятностью, правильный ответ с учётом вероятностей равен 3,6.
Ещё путают E(X^2) и (E(X))^2. В первом случае в квадрат возводят каждое значение, во втором уже готовое среднее. Похожая ошибка с дисперсией: пишут D(3X + 1) = 3D(X) + 1, хотя правильно 9D(X), потому что множитель выходит в квадрате, а сдвиг пропадает.
Часто теряют минус: -2 \cdot 0{,}1 = -0{,}2, но (-2)^2 = 4. В лотереях иногда делят на число выигрышных билетов, а делить нужно на все билеты.
Проверьте себя: контрольная по заданию 6
Восемь задач разных видов из нашего банка. Решите их подряд, как на экзамене. Если что-то не получилось, вернитесь к разделу этого вида выше.
Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.
| Выигрыш (в рублях) | 100 | 1000 | 5000 | 10 000 | 50 000 |
| Число выигрышных билетов | 500 | 100 | 50 | 10 | 1 |
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Разбор решения
Обозначим через X случайную величину «выигрыш на один билет».
Всего выпущено 10\,000 билетов. Вероятность получить каждый из выигрышей равна отношению числа соответствующих выигрышных билетов к общему числу билетов.
Билеты без выигрыша имеют выигрыш 0, поэтому их вклад в математическое ожидание равен нулю.
Тогда по формуле математического ожидания: \begin{gathered} M(X) = 100\cdot\frac{500}{10000} + 1000\cdot\frac{100}{10000} + 5000\cdot\frac{50}{10000} + 10000\cdot\frac{10}{10000} + 50000\cdot\frac{1}{10000} = \\[1ex] = \frac{100 \cdot 500 + 1000\cdot100 + 5000\cdot50 + 10000\cdot10 + 50000\cdot1}{10000} = \\[1ex] = \frac{50000+100000+250000+100000+50000}{10000} = \frac{550000}{10000} = 55. \end{gathered}
На гранях игрального кубика вместо точек написаны числа 1, 2, 2, 3, 3, 4. Кубик бросают один раз. Найдите математическое ожидание выпавшего числа.
Разбор решения
Каждая грань выпадает с вероятностью \dfrac{1}{6}, поэтому математическое ожидание равно среднему арифметическому чисел на гранях.
E(X) = \dfrac{1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4}{6} = \dfrac{15}{6} = 2{,}5.
Дисперсия случайной величины X равна 1,5. Найдите дисперсию случайной величины 4X.
Разбор решения
Прибавление числа дисперсию не меняет, а числовой множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате:
D(4X) = 4^2\cdot D(X) = 16\cdot 1{,}5 = 24.
Объём сока в пакете (в миллилитрах) равномерно распределён на отрезке [990;\,1015].
Найдите математическое ожидание объёма сока в пакете. Ответ дайте в миллилитрах.
Разбор решения
Все значения на отрезке равновозможны, поэтому среднее значение приходится на середину отрезка:
E(X) = \dfrac{990 + 1015}{2} = 1002{,}5.
Игрок один раз бросает игральный кубик. Если выпадает 6 очков, игрок получает 120 рублей, а при любом другом результате сам платит 12 рублей.
Найдите математическое ожидание выигрыша (проигрыш считайте отрицательным выигрышем) игрока за одну игру. Ответ дайте в рублях.
Разбор решения
У кубика шесть равновозможных граней, поэтому вероятность события равна числу подходящих граней, делённому на 6.
E(X) = 120\cdot\dfrac{1}{6} + (-12)\cdot\dfrac{5}{6} = \dfrac{60}{6} = 10.
Магазин продаёт дополнительную гарантию на телефон за 1200 рублей. С вероятностью 0,04 телефон в течение года потребует ремонта, который обойдётся магазину в 15 000 рублей, иначе расходов у магазина не будет.
Найдите математическое ожидание прибыли магазина от продажи одной такой гарантии. Ответ дайте в рублях.
Разбор решения
Прибыль равна 1200 рублей с вероятностью 0,96 и −13 800 рублей с вероятностью 0,04.
E(X) = 1200\cdot 0{,}96 + (-13\,800)\cdot 0{,}04 = 1152 - 552 = 600.
В таблице показано распределение случайной величины X.
| Значение X | −6 | −4 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,2 |
Найдите стандартное отклонение случайной величины X.
Разбор решения
Дисперсию удобно считать по формуле D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.
E(X) = (-6)\cdot 0{,}2 + (-4)\cdot 0{,}4 + 2\cdot 0{,}2 + 3\cdot 0{,}2 = -1{,}8.
E(X^2) = (-6)^2\cdot 0{,}2 + (-4)^2\cdot 0{,}4 + 2^2\cdot 0{,}2 + 3^2\cdot 0{,}2 = 16{,}2.
D(X) = 16{,}2 - (-1{,}8)^2 = 16{,}2 - 3{,}24 = 12{,}96.
Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии: \sigma = \sqrt{12{,}96} = 3{,}6.
На гранях игрального кубика написаны числа 0, 0, 0, 2, 2, 2. Кубик бросают один раз, случайная величина X — выпавшее число. Найдите дисперсию случайной величины X.
Разбор решения
Каждая грань выпадает с вероятностью \dfrac{1}{6}. Одинаковые числа объединим и составим таблицу распределения.
| Значение X | 0 | 2 |
|---|---|---|
| Вероятность | \dfrac{1}{2} | \dfrac{1}{2} |
Дисперсию удобно считать по формуле D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.
E(X) = 0\cdot\dfrac{1}{2} + 2\cdot\dfrac{1}{2} = 1.
E(X^2) = 0^2\cdot\dfrac{1}{2} + 2^2\cdot\dfrac{1}{2} = 2.
D(X) = 2 - 1^2 = 1.
Что дальше
Когда задание 6 начнёт получаться, переходите к соседним номерам первой части: вероятностям в заданиях 4 и 5, уравнениям в задании 7 и производной по графику в задании 9. Если хотите готовиться к ЕГЭ с преподавателем, запишитесь на бесплатное пробное занятие. Посмотрим, какие номера уже получаются, а какие стоит подтянуть, и составим план до экзамена.
Частые вопросы
Есть ли задание на случайные величины в ЕГЭ 2027?
Да. В демоверсии ЕГЭ 2027 года по профильной математике это задание 6: нужно найти математическое ожидание выигрыша в лотерее. Открытый банк ФИПИ с вариантами этого задания ожидается позже. В нашем банке уже собраны задачи всех видов по школьной программе, 129 штук с проверкой ответа.
Что такое математическое ожидание простыми словами?
Это среднее значение, которое получится, если повторять опыт очень много раз. Допустим, в игре за шестёрку на кубике дают 60 рублей, а за остальное ничего. Если сыграть тысячу раз, в среднем выйдет около 10 рублей за игру. Эти 10 рублей и есть математическое ожидание выигрыша.
Как обозначают математическое ожидание?
Чаще всего E(X) или EX, буква E от английского expectation («ожидание»). По-английски его называют expected value, а среднее значение называют mean. В вузовских и старых учебниках встречается обозначение M(X).
Как найти математическое ожидание по таблице?
Каждое значение умножьте на его вероятность и сложите все произведения. Перед этим проверьте, что вероятности в сумме дают 1.
Что такое отклонение и зачем оно нужно?
Отклонение показывает, насколько конкретный результат отличается от среднего. Если в среднем вы зарабатываете 10 000 ₽ в день, а сегодня заработали 8 000 ₽, отклонение равно −2 000 ₽. По отклонениям видно, стабилен результат или скачет.
Зачем отклонения возводят в квадрат?
Если сложить отклонения как есть, плюсы и минусы съедят друг друга: сумма отклонений от среднего всегда равна нулю. Квадраты всегда положительные, поэтому их среднее честно показывает разброс. Это среднее и называется дисперсией.
Чем стандартное отклонение отличается от дисперсии?
Стандартное отклонение (его ещё называют среднеквадратичным) равно корню из дисперсии и обозначается σ. Дисперсия измеряется в квадратных единицах, а стандартное отклонение в тех же единицах, что и сама величина, поэтому его легче понять.
Сколько баллов даёт задание 6?
1 первичный балл, как и каждое из заданий с 1 по 13. Ответ записывают целым числом или конечной десятичной дробью в бланк ответов № 1.
Как найти вероятность при равномерном распределении?
Длину нужного куска делят на длину всего отрезка. Математическое ожидание равномерного распределения равно середине отрезка.
Что нужно знать о нормальном распределении для ЕГЭ?
Его график похож на колокол и симметричен относительно математического ожидания. Поэтому вероятность оказаться больше среднего равна 0,5, а точки на одинаковом расстоянии от среднего слева и справа отсекают одинаковые хвосты.
Источники: демонстрационный вариант ЕГЭ 2027 года по математике профильного уровня (ФИПИ, fipi.ru); школьный курс «Вероятность и статистика» 10 и 11 класса; вопросы учеников на уроках школы «Репка»; задачи преподавателей школы. Задачи взяты из открытого банка заданий ФИПИ или составлены преподавателями «Репки», решения и пояснения написали наши преподаватели.
Разберём ваши ошибки на бесплатном пробном
Преподаватель посмотрит, как вы решаете эти задания, покажет слабые места и составит план подготовки. В кабинете ученика есть разборы всех задач банка, домашние с проверкой и прогноз балла.