РепкаЗадание 10 ОГЭ по математике: как решать задачи на вероятность
Что проверяет задание 10
Задание 10 — это задача на классическую вероятность. В условии всегда есть случайный выбор: бабушка наливает чай в случайную чашку, к заказчику приезжает случайное такси, бросают монету или кубик, жеребьёвка определяет порядок выступлений. Нужно найти, насколько вероятно какое-то событие.
Задание из первой части: ответ — одно число, проверяет компьютер, стоит 1 балл. Решается за 2–3 минуты, если знать, что считать. Это один из самых «дешёвых» баллов на экзамене — терять его обидно.
Главная формула
Вероятность — всегда от 0 до 1
Благоприятных исходов не может быть меньше нуля и не может быть больше, чем всех. Поэтому дробь \frac{m}{n} всегда лежит между 0 и 1:
- P = 0 — невозможное событие: ни один исход не подходит. На обычном кубике никогда не выпадет 7.
- P = 1 — достоверное событие: подходят все исходы. На кубике обязательно выпадет число меньше 7.
- Всё остальное — между: чем ближе к 1, тем чаще событие случается. P = 0{,}5 — шансы поровну, как у орла и решки.
Выберите событие или впишите свои m и n — стрелка покажет, где оно на шкале. Нажмите «Ошибка: перепутали m и n» и посмотрите, что получается.
Противоположное событие
Вероятность того, что событие не произойдёт: P(\overline{A}) = 1 - P(A). Если вероятность вытянуть синий шар 0,72, то вытянуть не синий — 1 - 0{,}72 = 0{,}28.
Опыт с шарами
Положите в мешок сколько угодно красных и синих шаров (до 60 каждого цвета) и тяните наугад. Вероятность считается по формуле, а рядом — что выходит на деле: после сотни вытягиваний доля синих почти совпадает с вероятностью.
Типы задач и как их решать
1. Выбор одного предмета из нескольких групп
Чашки двух цветов, такси трёх цветов, пирожки с разной начинкой. Самый частый тип. Всего предметов — это n, нужных — m. Подвох обычно один: нужное количество не дано напрямую, его надо получить вычитанием.
Решение
Всего чашек n = 25. Синих — «остальные»: m = 25 - 7 = 18. Вероятность P = \dfrac{18}{25} = \dfrac{72}{100} = 0{,}72.
Ответ: 0,72.
Решение
n = 15, жёлтых m = 3. P = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2. Чёрные и зелёные здесь лишние данные — их дают, чтобы проверить, не перепутаете ли вы, что считать.
Ответ: 0,2.
2. «Найдите вероятность, что не…»
Если в условии «бракованных», «неисправных», «не попал», удобно считать через противоположное событие: P(\text{не } A) = 1 - P(A). Это то же самое, что найти «хорошие» вычитанием.
Решение
Не подтекают 200 - 6 = 194 насоса. P = \dfrac{194}{200} = 0{,}97. Или так: P(\text{подтекает}) = \dfrac{6}{200} = 0{,}03, значит, P(\text{не подтекает}) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97.
Ответ: 0,97.
3. Монеты
Здесь главное — честно выписать все исходы. При одном броске их 2 (орёл или решка), при двух — 4, при трёх — 8. Порядок важен: ОР и РО — разные исходы.
| Бросков | Все исходы | n |
|---|---|---|
| 1 | О, Р | 2 |
| 2 | ОО, ОР, РО, РР | 4 |
| 3 | ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР | 8 |
Решение
Исходов 4: ОО, ОР, РО, РР. Ровно один орёл — в исходах ОР и РО, m = 2. P = \dfrac{2}{4} = 0{,}5.
Ответ: 0,5.
4. Кубики
У одного кубика 6 исходов. У двух — 6 \cdot 6 = 36: удобно представить таблицу, где строка — первый кубик, столбец — второй. Нужные клетки просто пересчитываем. Выберите сумму — таблица подсветит подходящие исходы.
Решение
Сумма 8 получается в пяти случаях: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всего исходов 36. P = \dfrac{5}{36} \approx 0{,}138\ldots \approx 0{,}14.
Ответ: 0,14.
5. Жеребьёвка и порядок выступлений
«Выступления распределены по дням», «порядок определяется жребием». Смотрим, сколько всего мест (n) и сколько из них в нужный день или на нужной позиции (m).
Решение
На три оставшихся дня приходится 60 - 24 = 36 выступлений, по 36 : 3 = 12 в день. В последний день m = 12 мест из n = 60. P = \dfrac{12}{60} = 0{,}2.
Ответ: 0,2.
Частота и вероятность: бросаем сами
Вероятность — это не «гарантия», а доля исходов при очень большом числе повторений. Бросьте кубик или монету один раз — увидите, что выпало. А потом сто, тысячу раз: частота каждой грани будет всё ближе к \frac{1}{6} \approx 0{,}167. Иногда в задании 10 дают именно частоту — например, «из 1000 проверенных лампочек 7 оказались неисправны» — и просят оценить вероятность: это та же дробь \frac{7}{1000} = 0{,}007.
Вероятность в жизни
- Прогноз погоды. «Вероятность дождя 70%» — это P = 0{,}7: в похожих условиях дождь шёл примерно в 7 случаях из 10. Зонт взять стоит, но и сухой день вполне возможен.
- Шанс выпадения в игре. «Редкий предмет выпадает с шансом 1%» — это P = 0{,}01. Значит, в среднем один раз на сто попыток, но не «точно на сотой»: может выпасть сразу, а может не выпасть и за двести. У каждой попытки шанс снова 1% — игра не «помнит» прошлых неудач, как и монета.
- Пенальти. Нападающий забил 40 пенальти из 50 — частота \frac{40}{50} = 0{,}8. По ней тренер оценивает вероятность, что забьёт и следующий. В задании 10 так же: «из 1000 лампочек 7 неисправны» — это частота, и её берут как вероятность.
- Лотерея. Если из 100 000 билетов выигрывают 10, шанс выиграть одним билетом — \frac{10}{100\,000} = 0{,}0001. Сто купленных билетов увеличивают шанс всего до 0,01.
Частые ошибки
- Не вычли «остальных». В условии 7 красных из 25, спрашивают про синие — а в ответ пишут 7/25.
- Склеили исходы. При двух монетах считают исходы «два орла, одна решка, две решки» — их три, но они неравновозможные. Правильно — четыре исхода.
- Поделили на другую группу. 5 красных и 10 синих, спрашивают про красный — а пишут \frac{5}{10} = 0{,}5. Делить нужно на все шары: \frac{5}{5 + 10} = \frac{5}{15} = \frac13.
- Перепутали m и n. Получилось больше 1 — значит, числитель и знаменатель поменялись местами.
- Записали ответ не так. Нужно 0,72, а не 18/25, не 72 и не 72%.
- Посчитали «нужный день» неверно. В задачах о выступлениях первый день обычно отличается от остальных — его выступления вычитают, остаток делят поровну.
Алгоритм на экзамене
- Поймите, что выбирается случайно и все ли варианты равновозможны.
- Посчитайте n — все исходы. Для монет и кубиков выпишите их или нарисуйте таблицу.
- Посчитайте m — подходящие исходы. Если дано «остальные» — вычтите.
- Разделите m на n, переведите в десятичную дробь и проверьте: ответ от 0 до 1?
Решите сами
Три задачи из открытого банка ФИПИ — разных типов. Если задача кончилась — нажмите «Другая задача», придёт новая того же номера.
У бабушки 25 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Разбор решения
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
Благоприятные исходы — те, в которых случайно выбранная чашка оказалась с синими цветами. Их количество равно количеству чашек с синими цветами, то есть 25 - 7 = 18.
Число всех исходов равно количеству всех чашек, то есть 25. Найдём вероятность: \begin{gathered} P = \frac{18}{25} = \dfrac{18 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \dfrac{72}{100} = 0{,}72. \end{gathered}
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,11. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Разбор решения
Так как исходов всего два: ручка пишет хорошо и ручка пишет плохо или не пишет, то сумма их вероятностей равна 1.
Так как вероятность того, что ручка пишет плохо или не пишет, равна 0,11, то вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна P = 1 - 0,11 = 0,89.
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события A \cup \overline {B}.
Разбор решения
Событие A \cup \overline{B} – это событие, при котором происходит событие A или не происходит событие B, то есть мы попадаем в область, включающую круг A, либо во всю область вне круга B.
Глядя на рисунок, видим, что в области находится шесть точек. Вероятности событий, которые им соответствуют, равны 0,05; 0,1; 0,1; 0,3; 0,2; 0,1.
Значит, искомая вероятность равна сумме вероятностей этих элементарных событий: P\skob{A \cup \overline {B}} = 0,05 + 0,1 + 0,1 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,85.
Что дальше
Вероятность из задания 10 встречается и дальше: в профильном ЕГЭ это задания 4 и 5, а с 2027 года — ещё и задание 6 на случайные величины, где та же идея «значение × вероятность» превращается в математическое ожидание. Если с основой всё в порядке, следующая ступень — случайные величины в ЕГЭ.
Частые вопросы
Сколько баллов даёт задание 10 ОГЭ?
Один первичный балл: это задание первой части, ответ — число, его проверяет компьютер. Ошибка в одной цифре или запятой — ноль баллов, поэтому ответ стоит перепроверить.
Как записать ответ, если получилась обыкновенная дробь?
Перевести её в десятичную: 18/25 = 72/100 = 0,72. В бланк пишут только 0,72 — без дроби, процентов и слова «вероятность». Если дробь не переводится в конечную десятичную, скорее всего, ошибка в подсчёте; либо в условии сказано, до какого разряда округлить.
Почему у двух монет четыре исхода, а не три?
Потому что монеты разные: «первая — орёл, вторая — решка» и «первая — решка, вторая — орёл» — это два разных исхода. Вариантов ОО, ОР, РО, РР четыре, и все они равновозможны. Если считать «один орёл» одним исходом, исходы получатся неравновозможными, и формула P = m/n перестанет работать.
Вероятность может быть больше 1?
Нет. Вероятность всегда от 0 до 1: 0 — событие невозможно, 1 — точно произойдёт. Если получилось 1,25 — вы перепутали m и n.
Пригодится ли это в ЕГЭ?
Да. В профильном ЕГЭ по математике есть задания на вероятность (№4 и №5), а с 2027 года — задание на случайные величины (№6). Формула P = m/n — их основа.
Источники: демоверсия, спецификация и кодификатор ОГЭ по математике (ФИПИ, fipi.ru). Задачи — из открытого банка заданий ФИПИ; решения и пояснения — преподавателей «Репки».
Разберём ваши ошибки на бесплатном пробном
Преподаватель посмотрит, как вы решаете эти задания, покажет слабые места и составит план подготовки. В кабинете ученика — разборы всех задач банка, домашние с проверкой и прогноз балла.