Репка
ОГЭ · математика · задание 15

Задание 15 ОГЭ по математике: треугольники — что нужно знать

Редакция онлайн-школы «Репка» · обновлено 18 октября 2026 · 18 мин чтения
КороткоДля задания 15 хватает десятка фактов: сумма углов треугольника 180^\circ, внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, в равнобедренном углы при основании равны, в прямоугольном — теорема Пифагора c^2 = a^2 + b^2 и определения \sin, \cos, \operatorname{tg}, площадь S = \tfrac12 ah или S = \tfrac12 ab\sin C. Ниже каждый факт можно потрогать на чертеже и посмотреть, откуда он берётся.

Что встречается в задании 15

Задание 15 — первая геометрическая задача ОГЭ. В открытом банке ФИПИ больше двухсот вариантов, и все они про треугольники, но сводятся к нескольким темам:

Сумма углов треугольника — 180°

Теорема
В любом треугольнике \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.

Тяните вершины — углы меняются, а сумма остаётся прежней. Потом нажмите «Доказательство по шагам»: через B пройдёт прямая, параллельная AC, углы A и C по очереди «перепрыгнут» к вершине B и вместе с углом B займут всю прямую — развёрнутый угол 180^\circ. В конце жмите «Другой треугольник»: числа будут другие, а сумма та же.

Почему углы A и C равны углам у вершины B? (про параллельные прямые)

Если две параллельные прямые пересечь третьей (секущей), то накрест лежащие углы равны — это углы по разные стороны от секущей, «внутри» между параллельными. В доказательстве параллельные прямые — сторона AC и пунктир через B, секущие — стороны AB и BC. Поэтому угол A и угол между пунктиром и BA равны, и то же с углом C.

Пример. В треугольнике два угла равны 38^\circ и 89^\circ. Найдите третий угол.
Решение

180^\circ - 38^\circ - 89^\circ = 53^\circ.

Ответ: 53.

Внешний угол

Продлим сторону AC за вершину C. Угол между продолжением и стороной CB называют внешним углом при вершине C. Вместе с внутренним углом C он составляет развёрнутый угол, поэтому:

\angle BCD = 180^\circ - \angle C = \angle A + \angle B Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Почему так — по шагам: сначала развёрнутый угол, потом прямая CE \parallel AB, и углы A и B переезжают к вершине C — один как соответственный, другой как накрест лежащий.

Пример. В треугольнике ABC угол C равен 142^\circ. Найдите внешний угол при вершине C.
Решение

Внешний угол смежен с внутренним: 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ.

Ответ: 38.

Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны, а третья сторона — основание. Углы при основании равны, а медиана, проведённая к основанию, одновременно биссектриса и высота. Двигайте ползунок угла при вершине — углы при основании пересчитываются.

Пример. В треугольнике ABC стороны AB = BC, угол B равен 40^\circ. Найдите угол A.
Решение

Основание — AC: оно лежит напротив вершины B, где сходятся равные стороны. Углы при основании равны: \angle A = \angle C = \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ.

Ответ: 70.

Прямоугольный треугольник

Стороны, образующие прямой угол, — катеты, сторона напротив прямого угла — гипотенуза, она всегда самая длинная. Для острого угла катеты различают так:

Переключайте «смотрим от угла A / от угла B»: один и тот же катет для одного угла противолежащий, а для другого — прилежащий. Это главная причина путаницы. Кнопки sin, cos, tg подсветят, какую сторону на какую делим: цвет стороны на чертеже совпадает с цветом в дроби.

Катеты a, b, гипотенуза c, угол A лежит напротив катета a c^2 = a^2 + b^2,\qquad \sin A = \frac{a}{c},\qquad \cos A = \frac{b}{c},\qquad \operatorname{tg} A = \frac{a}{b}

Почему c² = a² + b²: доказательство по шагам

Теорему Пифагора можно не зубрить, а увидеть. Четыре одинаковых прямоугольных треугольника складываем в квадрат со стороной a + b — внутри остаётся квадрат со стороной c. Площадь большого квадрата считаем двумя способами и сравниваем.

Доказательство текстом
  1. Возьмём четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c.
  2. Приложим их прямыми углами к углам квадрата со стороной a + b: на каждой стороне квадрата отрезки a и b.
  3. Внутри получится четырёхугольник со сторонами c. Каждый его угол равен 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ, значит, это квадрат.
  4. Площадь большого квадрата: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
  5. Та же площадь как сумма частей: 4 \cdot \tfrac12 ab + c^2 = 2ab + c^2.
  6. Приравниваем: a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2, откуда a^2 + b^2 = c^2.

Ещё два свойства, которые часто спрашивают:

Пример. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.
Решение

c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.

Ответ: 10.

Пример. В треугольнике ABC угол C прямой, AB = 15, \sin A = 0{,}6. Найдите BC.
Решение

Гипотенуза — AB (напротив прямого угла). Катет BC лежит напротив угла A — он противолежащий. \sin A = \dfrac{BC}{AB}, значит, BC = 15 \cdot 0{,}6 = 9.

Ответ: 9.

Площадь треугольника

Формулы площади S = \frac12 a h_a,\qquad S = \frac12 ab \sin C,\qquad S_{\text{прямоуг.}} = \frac12 \cdot \text{катет} \cdot \text{катет}

Откуда в формулах половина и откуда синус — нажимайте кнопки на чертеже. Вершину B можно тянуть.

Коротко: почему ½ и почему синус

Любой треугольник — половина параллелограмма с тем же основанием и высотой (приставьте к нему такой же, перевёрнутый). Площадь параллелограмма — основание на высоту, значит, у треугольника — половина. А высота, опущенная из B, — это катет прямоугольного треугольника с гипотенузой a напротив угла C, поэтому h = a\sin C и S = \tfrac12 ab\sin C.

Пример. Две стороны треугольника равны 12 и 7, угол между ними 30^\circ. Найдите площадь.
Решение

S = \dfrac12 \cdot 12 \cdot 7 \cdot \sin 30^\circ = \dfrac12 \cdot 12 \cdot 7 \cdot \dfrac12 = 21.

Ответ: 21.

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия

Четыре отрезка, которые легко перепутать. Выберите каждый на чертеже и потяните вершины — числа покажут, что именно делит каждый отрезок.

ОтрезокЧто делаетКак запомнить
медианаделит противоположную сторону пополам«медиана — к середине»
биссектрисаделит угол пополам«биссектриса — крыса, бегает по углам и делит угол пополам»
высотаперпендикулярна стороне (или её продолжению)«высота — под прямым углом»
средняя линиясоединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине«средняя — между серединами»

Три задачи по шагам

Разберём три типичные задачи из задания 15. Жмите «Следующий шаг» — на чертеже появляется ровно то, о чём шаг. После каждого разбора — похожая задача, чтобы решить самому.

Задача 1. Биссектриса и внешний угол

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 95^\circ, угол ABC равен 70^\circ. Найдите угол ACB.

  1. Отметим на чертеже, что дано: биссектриса AL, \angle ABC = 70^\circ и \angle ALC = 95^\circ. Ищем угол C.
  2. Посмотрим на треугольник ABL (закрашен). Угол ALC для него внешний при вершине L: он смежен с углом ALB этого треугольника.
  3. Внешний угол равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: \angle ALC = \angle BAL + \angle ABL. Значит, \angle BAL = 95^\circ - 70^\circ = 25^\circ.
  4. AL — биссектриса, она делит угол A пополам. Поэтому \angle LAC = 25^\circ, а весь угол \angle BAC = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ.
  5. Сумма углов треугольника ABC равна 180^\circ: \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ.

Ответ: 60.

Попробуйте сами. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 100^\circ, угол ABC равен 64^\circ. Найдите угол ACB.

Решение

\angle ALC — внешний угол треугольника ABL, поэтому \angle BAL = 100^\circ - 64^\circ = 36^\circ. AL — биссектриса, значит, \angle BAC = 72^\circ. \angle ACB = 180^\circ - 64^\circ - 72^\circ = 44^\circ.

Ответ: 44.

Задача 2. Косинус и теорема Пифагора

В треугольнике ABC угол C равен 90^\circ, AC = 12, \cos A = 0{,}8. Найдите BC.

  1. Отметим прямой угол C, катет AC = 12 и угол A, косинус которого дан.
  2. Гипотенуза — сторона напротив прямого угла, это AB. Катет AC — одна из сторон угла A, значит, он для угла A прилежащий.
  3. Косинус — прилежащий катет на гипотенузу: \cos A = \dfrac{AC}{AB}, то есть 0{,}8 = \dfrac{12}{AB}, откуда AB = \dfrac{12}{0{,}8} = 15.
  4. Второй катет — по теореме Пифагора: BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9.

Ответ: 9.

Попробуйте сами. В треугольнике ABC угол C равен 90^\circ, BC = 7, \sin A = 0{,}28. Найдите AC.

Решение

Катет BC лежит напротив угла A — противолежащий. \sin A = \dfrac{BC}{AB}, значит, AB = \dfrac{7}{0{,}28} = 25. По теореме Пифагора AC = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24.

Ответ: 24.

Задача 3. Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45^\circ. Найдите площадь треугольника.

  1. Нарисуем: прямой угол C, катет BC = 10, напротив него — угол A = 45^\circ.
  2. Второй острый угол: \angle B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ. Углы при гипотенузе равны — треугольник равнобедренный.
  3. Против равных углов лежат равные стороны, поэтому AC = BC = 10.
  4. Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов: S = \tfrac12 \cdot 10 \cdot 10 = 50.

Ответ: 50.

Попробуйте сами. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 7 и 25. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Второй катет по теореме Пифагора: \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24. Площадь: S = \tfrac12 \cdot 7 \cdot 24 = 84.

Ответ: 84.

Частые ошибки

На чём теряют балл
  • Перепутали синус и косинус. Сначала найдите угол на чертеже, потом катет, который его не касается, — это противолежащий, он идёт в синус и тангенс.
  • Внешний угол посчитали как сумму всех углов. Внешний — это 180^\circ минус внутренний при той же вершине, или сумма двух других углов.
  • Не тот угол при основании. Основание лежит напротив вершины, где сходятся равные стороны.
  • Мерят рисунок. Чертёж в задании не в масштабе — считаем только по условию.
  • В формуле \tfrac12 ab\sin C взяли не тот угол. Угол должен быть между сторонами a и b.

Решите сами

Задачи из открытого банка ФИПИ — все про треугольники. «Другая задача» подставит новую того же номера.

Попробуйте самиВпишите ответ и нажмите «Проверить». «Другая задача» — новая того же типа.
Задача из банка ФИПИ · ОГЭ · математика, задание 15

В треугольнике два угла равны 38^{\circ} и 89^{\circ}. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Разбор решения

Сумма углов треугольника равна 180^\circ. Известно, что два угла треугольника равны 38^{\circ} и 89^{\circ}, а в сумме все три угла дают 180^\circ. Значит, третий угол равен: 180^\circ - 38^{\circ} - 89^{\circ} = 53^\circ.

Таким образом, третий угол равен 53 градуса.

Задача из банка ФИПИ · ОГЭ · математика, задание 15

Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Разбор решения

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a^2 + b^2 = c^2,

где a, b — катеты, c — гипотенуза.

Из этого следует: \begin{gathered} c^2 = a^2 + b^2\\ c^2= 10^2 + 24^2 \\ c^2= 100 + 576\\ c^2= 676\\ c = 26 \end{gathered}

Таким образом, гипотенуза равна 26.

Задача из банка ФИПИ · ОГЭ · математика, задание 15

В треугольнике ABC угол C равен 90^{\circ}, \cos \a B=\dfrac{5}{6}, AB=18. Найдите BC.

Разбор решения

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

Значит, в треугольнике ABC косинус угла B равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB:

\begin{gathered} \cos\a B = \dfrac{BC}{AB}\\[1ex] \dfrac{5}{6} = \dfrac{BC}{18}\\[1ex] BC = \dfrac{18 \cdot 5}{6}\\[1ex] BC = 3 \cdot 5\\ BC = 15 \end{gathered}

Все задачи задания 15 (252) →

Что дальше

Следующие задания ОГЭ — окружность (16) и четырёхугольники (17) — опираются на те же факты о треугольниках. Значения синусов и косинусов углов 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ удобно запомнить по тригонометрическому кругу.

Частые вопросы

Даются ли формулы на ОГЭ?

Да, к варианту прилагаются справочные материалы с основными формулами, в том числе площади треугольника и теоремы Пифагора. Но определения синуса и косинуса, свойства равнобедренного треугольника и внешнего угла нужно знать самому.

Сколько баллов за задание 15?

Один балл. Задание из первой части, ответ — число.

Как не перепутать синус и косинус?

Синус угла — противолежащий катет делить на гипотенузу: катет «напротив» угла, он угла не касается. Косинус — прилежащий катет делить на гипотенузу: этот катет — одна из сторон самого угла. Тангенс — противолежащий делить на прилежащий.

Что такое внешний угол?

Угол, смежный с внутренним углом треугольника: вместе они дают 180°. Внешний угол при вершине C равен 180° − ∠C и одновременно сумме двух других внутренних углов.

Нужно ли решать по рисунку из задания?

Рисунок помогает понять, где какая сторона, но размеры на нём не в масштабе: считать надо по данным из условия, а не мерить линейкой.

Источники: демоверсия и кодификатор ОГЭ по математике (ФИПИ, fipi.ru); справочные материалы ОГЭ. Задачи — из открытого банка заданий ФИПИ; решения и пояснения — преподавателей «Репки».

Разберём ваши ошибки на бесплатном пробном

Преподаватель посмотрит, как вы решаете эти задания, покажет слабые места и составит план подготовки. В кабинете ученика — разборы всех задач банка, домашние с проверкой и прогноз балла.

Записаться на бесплатное пробноеРешать все задачи задания 15

Читайте также

Задание 16 ОГЭ по математике: окружность, вписанные и описанные фигуры

Все типы задания 16 ОГЭ: вписанный и центральный угол, диаметр, вписанный четырёхугольник и трапеция, касательные, описанный четырёхугольник, правильный треугольник и квадрат, S = pr, теорема синусов. Интерактивные чертежи с доказательствами и задачи ФИПИ с разбором.

Задание 10 ОГЭ по математике: как решать задачи на вероятность

Задание 10 ОГЭ по математике: формула вероятности, все типы задач (чашки, такси, монеты, кубики, жеребьёвка), частые ошибки, разбор примеров и задачи ФИПИ с проверкой ответа.