РепкаЗадание 16 ОГЭ по математике: окружность, вписанные и описанные фигуры
Что встречается в задании 16
В открытом банке ФИПИ 318 задач номера 16. Это не только «вписанный угол»: окружность бывает вписана в треугольник, квадрат, ромб и трапецию или описана около них. Мы разобрали все задачи банка и собрали их в девять типов — ниже каждый с объяснением, чертежом и примером.
| Тип | Главный факт |
|---|---|
| вписанный и центральный угол | вписанный = половина дуги |
| угол на диаметр, центр на стороне треугольника | угол на диаметр — 90^\circ |
| диаметры и равнобедренные треугольники | все радиусы равны |
| вписанный четырёхугольник, вписанная трапеция | \angle A + \angle C = 180^\circ |
| касательные | радиус ⟂ касательной, отрезки касательных равны |
| описанный четырёхугольник и трапеция | AB + CD = BC + AD, высота = 2r |
| правильный треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник | R = 2r, R = \frac{d}{2}, r = \frac{h}{2} |
| площадь через вписанную окружность | S = p\,r |
| радиус описанной окружности любого треугольника | R = \dfrac{a}{2\sin A} |
Вписанный и центральный угол
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Тяните точку C. Оранжевым подсвечена дуга, на которую опирается вписанный угол, — та, на которой нет точки C. Пока C ходит по одной дуге, угол не меняется. Перетащите C на другую сторону от хорды AB — дуга сменится, и угол станет другим.
Решение
Точка C и центр по одну сторону от AB, поэтому вписанный угол ACB опирается на ту же дугу, что и центральный AOB: \angle ACB = 73^\circ : 2 = 36{,}5^\circ.
Ответ: 36,5.
Угол на диаметр: центр на стороне треугольника
Если вписанный угол опирается на диаметр, «его» центральный угол развёрнутый, 180^\circ, значит, сам угол — 90^\circ. Поэтому фраза «центр описанной окружности лежит на стороне AB» означает: AB — диаметр, а угол C — прямой. Дальше работают сумма углов и теорема Пифагора.
Решение
AB — диаметр, \angle C = 90^\circ. Тогда \angle ABC = 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ.
Ответ: 57.
Решение
AB = 2 \cdot 17 = 34, угол C прямой. AC = \sqrt{34^2 - 30^2} = \sqrt{1156 - 900} = \sqrt{256} = 16.
Ответ: 16.
Решение
Гипотенуза \sqrt{144 + 25} = 13 — это диаметр. R = 13 : 2 = 6{,}5.
Ответ: 6,5.
Решение
Углы NMB и NAB опираются на одну дугу NB, значит, равны. В треугольнике ANB угол N прямой (опирается на диаметр), поэтому \angle NAB = 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ.
Ответ: 49.
Диаметры и равнобедренные треугольники
Любые два радиуса равны, поэтому треугольник с вершиной в центре и двумя точками на окружности — равнобедренный. Это ключ к задачам с двумя диаметрами.
Решение
OB = OC — радиусы, треугольник BOC равнобедренный: \angle OBC = \angle OCB = 53^\circ, значит, \angle BOC = 180^\circ - 2 \cdot 53^\circ = 74^\circ. Углы AOD и BOC вертикальные, поэтому \angle AOD = 74^\circ.
Ответ: 74.
Обратная задача — «\angle AOD = 86^\circ, найдите \angle ACB» — решается теми же шагами в обратном порядке: \angle ACB = \dfrac{180^\circ - 86^\circ}{2} = 47^\circ.
Вписанный четырёхугольник
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180^\circ: \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ.
Почему так: угол A опирается на дугу BCD, угол C — на дугу DAB. Вместе эти дуги — вся окружность, 360^\circ, а каждый угол — половина своей дуги. Тяните вершины и переключите на «Углы на одну дугу» — это второй приём для вписанных четырёхугольников.
Решение
\angle C = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ.
Ответ: 118.
Решение
\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC. Углы DBC и DAC опираются на одну дугу DC, поэтому \angle DBC = 34^\circ. \angle ABC = 80^\circ + 34^\circ = 114^\circ.
Ответ: 114.
Вписанная трапеция
Если трапецию можно вписать в окружность, она равнобедренная: у трапеции углы при боковой стороне в сумме 180^\circ (это углы при параллельных основаниях), и по свойству вписанного четырёхугольника отсюда следует, что углы при основании равны.
Решение
Углы A и B прилежат к боковой стороне AB, их сумма 180^\circ: \angle B = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ.
Ответ: 128.
Касательные
Касательная — прямая, которая имеет с окружностью одну общую точку. Два главных свойства видно на чертеже: радиус в точку касания перпендикулярен касательной, и отрезки двух касательных из одной точки равны. Тяните точку P.
Решение
В четырёхугольнике OAPB углы при A и B прямые, поэтому \angle AOB = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ. Треугольник AOB равнобедренный, \angle ABO = \dfrac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ.
Ответ: 36.
Описанный четырёхугольник и трапеция
В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.
Почему так — видно по цветам: из каждой вершины идут два равных отрезка касательных, и каждая сторона складывается из двух отрезков разного цвета. В суммах AB + CD и BC + AD каждый цвет встречается по разу. Двигайте точки касания.
Решение
AB + CD = BC + AD: 8 + 17 = 20 + AD, AD = 5.
Ответ: 5.
Решение
Противоположные стороны — боковые и основания: AB + CD = BC + AD, 10 + 12 = 6 + AD, AD = 16.
Ответ: 16.
Ещё одно свойство описанной трапеции: окружность касается обоих оснований, а они параллельны, поэтому высота трапеции равна диаметру: h = 2r. Неважно, равнобедренная трапеция или прямоугольная: при r = 16 высота 32.
Правильный треугольник
Решение
R = \dfrac{16\sqrt3 \cdot \sqrt3}{3} = \dfrac{48}{3} = 16.
Ответ: 16.
Решение
r = \dfrac{a\sqrt3}{6}, откуда a = \dfrac{6r}{\sqrt3} = \dfrac{6 \cdot 7\sqrt3}{\sqrt3} = 42.
Ответ: 42.
Если сказано «расстояние от центра до сторон треугольника», это и есть радиус вписанной окружности r.
Квадрат, ромб и прямоугольник
Решение
Пусть сторона a. В прямоугольном треугольнике ADO катеты AD = a и DO = \frac{a}{2}, гипотенуза OA = \sqrt5: a^2 + \frac{a^2}{4} = 5, \frac{5a^2}{4} = 5, a^2 = 4. Площадь квадрата — это и есть a^2 = 4.
Ответ: 4.
Прямоугольник всегда можно вписать в окружность: его диагональ — диаметр. Если дан диаметр 25 и синус угла между стороной и диагональю 0,96, то стороны 25 \cdot 0{,}96 = 24 и \sqrt{25^2 - 24^2} = 7, площадь 168.
В ромб всегда можно вписать окружность: все стороны равны, суммы противоположных сторон тоже. Её диаметр равен высоте ромба: r = \frac{h}{2}, а высоту находят через площадь S = \frac{d_1 d_2}{2} = a\,h.
Решение
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике с катетом \frac{AC}{2} = 18 второй катет 18 \cdot \frac43 = 24, значит, BD = 48, сторона \sqrt{18^2 + 24^2} = 30. Площадь S = \frac{36 \cdot 48}{2} = 864, высота h = \frac{864}{30} = 28{,}8, радиус r = 14{,}4.
Ответ: 14,4.
Площадь через радиус вписанной окружности
Решение
Полупериметр p = 55, S = p\,r = 55 \cdot 10 = 550. Длина отдельной стороны, которую иногда дают в условии, здесь не нужна.
Ответ: 550.
Радиус описанной окружности любого треугольника
Решение
\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac12. R = \dfrac{26}{2 \cdot \frac12} = 26.
Ответ: 26.
Частые ошибки
- Умножают вместо деления. Вписанный угол — половина центрального, а не наоборот.
- Не та дуга. Если вершина вписанного угла и центр по разные стороны от хорды, угол опирается на большую дугу.
- Не видят прямой угол. «Центр лежит на стороне» — значит, эта сторона диаметр, а угол напротив неё 90^\circ.
- Путают признаки. Вписанный четырёхугольник — сумма противоположных углов 180^\circ; описанный — равны суммы противоположных сторон.
- Путают R и r у правильного треугольника. Описанная окружность больше: R = 2r.
- Ищут площадь квадрата, а пишут сторону. Часто a^2 получается сразу — это и есть площадь.
Решите сами
Задачи из открытого банка ФИПИ. «Другая задача» подставит новую — попадутся все типы из этой статьи. Если не получилось, откройте «Разбор решения».
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 73^{\circ}. Ответ дайте в градусах.
Разбор решения
Угол ACB — вписанный, так как его вершина C лежит на окружности. Он опирается на дугу AB.
Угол AOB — центральный, так как его вершина O — центр окружности. Он опирается на ту же дугу AB.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Углы ACB и AOB опираются на дугу AB, значит, \a ACB = \frac{1}{2} \a AOB = \frac{1}{2} \cdot \ang{73} = 36,5^{\circ}.
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 81^{\circ}. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Разбор решения
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180^\circ.
У вписанного в окружность четырехугольника ABCD углы A и C — противоположные, значит, их сумма равна 180^\circ: \a A + \a C = \ang{180}.
Выразим угол C и подставим известные значения: \a C =\ang{180} -\a A = \ang{180} - \ang{81} = \ang{99}.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 26. Найдите высоту этой трапеции.
Разбор решения
Проведём радиус в точку касания окружности с нижним основанием. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижнему основанию.
Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхним основанием. Этот радиус также перпендикулярен верхнему основанию.
Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами образуется развернутый угол, следовательно, оба радиуса лежат на одной прямой.
Высота трапеции равна расстоянию между её основаниями, а значит, совпадает с длиной отрезка, образованного этими радиусами: h = 26 + 26 = 52.
Что дальше
Прямоугольные треугольники и синус острого угла разобраны в статье о задании 15, свойства параллелограмма, ромба и трапеции — в разборе задания 17.
Частые вопросы
Чем вписанный угол отличается от центрального?
У центрального угла вершина в центре окружности, у вписанного — на самой окружности. Если оба опираются на одну дугу, вписанный в два раза меньше: он равен половине градусной меры дуги.
Почему в задаче пишут «точки O и C лежат в одной полуплоскости»?
Чтобы было понятно, на какую дугу опирается вписанный угол. Если C и центр по одну сторону от хорды AB, вписанный угол опирается на меньшую дугу и равен половине центрального угла AOB. Если по разные — на большую, и тогда он равен 180° минус эта половина.
Как понять, что четырёхугольник можно вписать в окружность?
Нужно, чтобы сумма противоположных углов была 180°. Поэтому вписать можно любой прямоугольник и равнобедренную трапецию, но нельзя — параллелограмм с неравными углами.
Как найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника?
Центр такой окружности — середина гипотенузы, поэтому радиус равен половине гипотенузы: R = c/2.
Сколько баллов за задание 16?
Один балл, ответ — число.
Источники: демоверсия и кодификатор ОГЭ по математике (ФИПИ, fipi.ru); справочные материалы ОГЭ. Задачи — из открытого банка заданий ФИПИ; решения и пояснения — преподавателей «Репки».
Разберём ваши ошибки на бесплатном пробном
Преподаватель посмотрит, как вы решаете эти задания, покажет слабые места и составит план подготовки. В кабинете ученика — разборы всех задач банка, домашние с проверкой и прогноз балла.
Читайте также
Задание 15 ОГЭ по математике: треугольники — что нужно знать
Задание 15 ОГЭ по геометрии: сумма углов и внешний угол с доказательством, равнобедренный и прямоугольный треугольник, синус и косинус, медиана, биссектриса, площадь. Интерактивные чертежи, разборы и задачи ФИПИ с проверкой.
Задание 10 ОГЭ по математике: как решать задачи на вероятность
Задание 10 ОГЭ по математике: формула вероятности, все типы задач (чашки, такси, монеты, кубики, жеребьёвка), частые ошибки, разбор примеров и задачи ФИПИ с проверкой ответа.