Задание 18. Планиметрия (разв.)

В треугольнике ABC точки A_1, B_1 и C_1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, \angle BAC=30^\circ, \angle BCA=45^\circ.

а) Докажите, что точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A_1H, если BC=4\sqrt{3}.

В треугольнике ABC точки A_1, B_1 и C_1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, \angle BAC=120^\circ, \angle BCA=15^\circ.

а) Докажите, что точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A_1H, если BC=4\sqrt{3}.

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в точке H. Через точку C_1 параллельно высоте BB_1 проведена прямая, пересекающая высоту AA_1 в точке K.

а) Докажите, что AB\cdot KH=BC\cdot C_1H.

б) Найдите отношение площадей треугольников C_1HK и ABC, если AB=6, BC=4, AC=5.

В треугольнике ABC продолжения высоты CC_1 и биссектрисы BB_1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, \angle ABC=40^\circ, \angle ACB=85^\circ.

а) Докажите, что BM=CN.

б) Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 6.

В остроугольном треугольнике ABC угол BAC в два раза больше угла ABC. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AOC, пересекает отрезок BC в точках C и P.

а) Докажите, что AP=BP.

б) Найдите длину стороны BC, если AB=7, AC=4.

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16, QW=12, угол PWQ — острый.

а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK:KC=1:2.

а) Докажите, что \angle BAC=30^\circ.

б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC=\sqrt{21}.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8. Известно, что AB=BC=CD=12.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM — параллелограмм.

а) Докажите, что BC=DE.

б) Найдите длину стороны AB, если известно, что DE=4, AD=7, BE=8 и AB>BC.

В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM:MB=CN:NB=2:3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L.

а) Докажите, что AB+BC=4AC.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML=\dfrac95, LN=3.

В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM=BC и CN=AC.

а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны.

б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K, а прямые BM и AN — в точке L. Найдите KL, если BC=1, а AC=5.

Окружность с центром O касается катетов AC и BC прямоугольного треугольника ABC в точках M и E соответственно, а его гипотенузы — в точке K. Отрезок EH — перпендикуляр к прямой MK.

а) Докажите, что прямые CH и EK параллельны.

б) Найдите отношение CH:EK, если AC=12 и BC=5.

Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и его высоты CH.

а) Докажите, что \angle OAC=45^\circ.

б) Найдите длину отрезка BC, если BO=1 и AC=6.

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бо́льшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите BC, если радиусы окружностей равны \sqrt{15} и 15.

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны CD в точке M. Луч AM вторично пересекает окружность в точке N, а прямую BC — в точке K, причём AN=4, MN=12.

а) Докажите, что \angle AMD=\angle MCK.

б) Найдите основания трапеции.

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.

а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если BC=7, AD=23.

В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.

а) Докажите, что \angle BAM=\angle CAD.

б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB=\sqrt{10}, а BC=2BM.

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=KO.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет \dfrac{9}{100} площади трапеции ABCD.

В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE=CE.

а) Докажите, что AL\cdot BC=AB\cdot AC.

б) Найдите EL, если AC=8, \operatorname{tg}\angle BCA=\dfrac12.

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC=32.