ЕГЭ по математике (профиль), задание 15: 28 задач с ответами — из открытого банка ФИПИ. Решите и проверьте ответ — регистрация не нужна. Страница 2 из 2.
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причём AB=2\sqrt{2}, BC=4. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB.
а) Докажите, что P — середина отрезка BQ.
б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD=4.
В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA_1 равно 4. На рёбрах AA_1 и BB_1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = BN = 3.
а) Точки O и O_1 — центры окружностей, описанных около треугольников ABC и A_1B_1C_1 соответственно. Докажите, что прямая OO_1 содержит точку пересечения медиан треугольника CMN.
б) Найдите расстояние от точки C_1 до плоскости CMN.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 через середину M диагонали AC_1 проведена плоскость \alpha перпендикулярно этой диагонали, AB=5{,} BC=3{,} AA_1=4.
а) Докажите, что плоскость \alpha содержит точку D_1.
б) Найдите отношение, в котором плоскость \alpha делит ребро A_1B_1.
Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём \angle BAD+\angle ADC=90^\circ. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K — точка пересечения прямых AB и CD.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.
В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM=AK=4.
а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 5:4.
б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью CMK.
Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD. Точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость \alpha проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA.
а) Плоскость \alpha пересекает боковое ребро SD в точке L. Докажите, что BN:NC=DL:LS.
б) Плоскость \alpha делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если BN:NC=1:3.
На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM:MD=2:1.
Точки P и Q — середины рёбер BC и AD соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём AK:KC=2:3. Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2.
а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.
На бесплатном пробном занятии преподаватель посмотрит, как вы решаете задания ЕГЭ по математике (профиль), задание 15, покажет слабые места и составит план подготовки. Разборы всех задач банка и проверка прогресса — в кабинете ученика.
Репка