ЕГЭ по математике (профиль), задание 15: 28 задач с ответами — из открытого банка ФИПИ. Решите и проверьте ответ — регистрация не нужна. Страница 1 из 2.
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=1:2. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно. На продолжении ребра SB за точку S отмечена точка R. Прямые RM и RK пересекают рёбра AS и BC в точках N и L соответственно, причём BL=3LC.
а) Докажите, что отрезки MK и NL пересекаются.
б) Найдите отношение AN:NS.
В основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный ( AB=BC ) треугольник ABC. Точка K — середина ребра A_1B_1, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3.
а) Докажите, что KM\perp AC.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB_1, если AB=6, AC=8 и AA_1=3.
На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E:EA=1:2, на ребре BB_1 — точка F так, что B_1F:FB=1:5, а точка T — середина ребра B_1C_1. Известно, что AB=2, AD=6, AA_1=6.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D_1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA_1B_1.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: AB=6\sqrt{2}, AD=10, AA_1=16. На рёбрах AA_1 и BB_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1E:EA=5:3 и B_1F:FB=5:11. Точка T — середина ребра B_1C_1.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D_1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: AB=2\sqrt{2}, AD=6, AA_1=10. На рёбрах AA_1 и BB_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1E:EA=3:2 и B_1F:FB=3:7. Точка T — середина ребра B_1C_1.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D_1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle ACB=45^\circ, AB=2\sqrt{3}, CC_1=2\sqrt{6}.
а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 60^\circ.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC_1.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle ACB=30^\circ, AB=\sqrt{2}, CC_1=2.
а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 45^\circ.
б) Найдите объём цилиндра.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle ACB=30^\circ, AB=1, CC_1=2\sqrt{2}.
а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 60^\circ.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM:MD=3:2{,} BN:NC=1:2. Плоскость AMN пересекает ребро SC в точке K.
а) Докажите, что SK:KC=6:1.
б) Плоскость AMN делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью \alpha, содержащей прямую BD_1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями \alpha и BCC_1, если AA_1=10, AB=12.
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с бо́льшим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость \alpha проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью \alpha является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью \alpha, если AD=10{,} BC=8{,} SO=8{,} а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 5, а боковое ребро SA равно 9. Точка M лежит на ребре AB, AM = 1, а точка K лежит на ребре SC. Известно, что MK = KD.
а) Докажите, что плоскость DKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите площадь треугольника DKM.
В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит параллелограмм ABCD с углом 60^\circ при вершине A. На рёбрах A_1B_1, B_1C_1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.
а) Докажите, что точка M — середина ребра A_1B_1.
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка K делит ребро B_1C_1 в отношении B_1K:KC_1=2:3.
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=6\sqrt{2}.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=1:2. Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB.
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5\sqrt{2}.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3. Найдите площадь сечения MNB.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость \alpha, образующую сечение ABMN, где точки M и N — точки пересечения плоскости \alpha с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что AB=BM=AN=5MN.
а) Докажите, что точки M и N делят рёбра SC и SD в отношении 1:4{,} считая от вершины S.
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD и плоскостью \alpha.
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость \alpha перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью \alpha, если известно, что BK=1{,} KC=3.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:2. Плоскость \alpha содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость \alpha параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями \alpha и SBC.
На бесплатном пробном занятии преподаватель посмотрит, как вы решаете задания ЕГЭ по математике (профиль), задание 15, покажет слабые места и составит план подготовки. Разборы всех задач банка и проверка прогресса — в кабинете ученика.
Репка